Mostre que a equação y^{\prime}=\frac{y x}{x^{2}-y^{2}} é homogênea e que possui, para cada ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) do plano com y_{0} \neq x_{0}, uma única solução y(x) satisfazendo y\left(x_{0}\right)=y_{0}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y\,x}{x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas:
  1. Mostrar que ela é homogênea.
  2. Mostrar que, dado um ponto inicial \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) com x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0 (em particular y_{0}\neq x_{0}), existe uma única solução y(x) satisfazendo y(x_{0})=y_{0}.
O conteúdo é cálculo de EDOs homogêneas e o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf. Para resolver, vamos (i) verificar a homogeneidade, (ii) aplicar a substituição y=vx e separar variáveis, e (iii) usar o teorema de existência e unicidade num domínio onde o denominador não se anula.

Passo 2

Verificamos que o lado direito
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}}
é homogêneo de grau zero, ou seja, para todo \lambda\neq0
f(\lambda x,\lambda y) =\frac{(\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}} =\frac{\lambda^{2}x\,y}{\lambda^{2}(x^{2}-y^{2})} =\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}} =f(x,y).
Logo a EDO é homogênea.

Passo 3

Como é homogênea, fazemos a troca padrão
y=v\,x,
onde v=v(x). Então
y' = v + x\,v'.
Substituindo em y'=\tfrac{x\,y}{x^{2}-y^{2}} obtemos
v + x\,v' \;=\;\frac{x\,(v\,x)}{x^{2}-(v\,x)^{2}} =\frac{v\,x^{2}}{x^{2}(1-v^{2})} =\frac{v}{1-v^{2}}.
Passando v para o segundo membro,
x\,v'=\frac{v}{1-v^{2}}-v =\frac{v - v(1-v^{2})}{1-v^{2}} =\frac{v^{3}}{1-v^{2}}.

Passo 4

Agora separamos variáveis:
\frac{1-v^{2}}{v^{3}}\,dv =\frac{dx}{x}.
Note que
\frac{1-v^{2}}{v^{3}} =\frac{1}{v^{3}}-\frac{1}{v},
então
\int\Bigl(\frac{1}{v^{3}}-\frac{1}{v}\Bigr)dv =\int\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \int v^{-3}dv - \int v^{-1}dv =\ln\lvert x\rvert + C.
Calculando as primitivas,
-\tfrac12\,v^{-2}-\ln\lvert v\rvert = \ln\lvert x\rvert + C.
Voltando a v=y/x, obtemos a solução geral implícita
-\frac{1}{2}\,\frac{x^{2}}{y^{2}} -\ln\Bigl\lvert\frac{y}{x}\Bigr\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Para garantir existência e unicidade, note que a função
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}}
e sua derivada parcial \partial f/\partial y são contínuas num conjunto aberto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq0\}.
Se \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) satisfaz x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0, então pelo teorema de Picard–Lindelöf existe uma única solução y(x) que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e continua enquanto x^{2}-y(x)^{2}\neq0.

Resposta

A equação é homogênea e, aplicando y=vx, separa-se variáveis para obter a família de soluções implícitas
-\frac{1}{2}\,\frac{x^{2}}{y^{2}} -\ln\!\Bigl\lvert\frac{y}{x}\Bigr\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.
Como f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas em D=\{x^{2}-y^{2}\neq0\}, pelo teorema de existência e unicidade há exatamente uma solução que satisfaz y(x_{0})=y_{0} sempre que x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0.

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