Mostre que a equação y^{\prime}=\frac{y x}{x^{2}-y^{2}} é homogênea e que possui, para cada ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) do plano com y_{0} \neq x_{0}, uma única solução y(x) satisfazendo y\left(x_{0}\right)=y_{0}.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'=\frac{y\,x}{x^{2}-y^{2}}
e pede duas coisas:
Mostrar que ela é homogênea.
Mostrar que, dado um ponto inicial \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) com x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0 (em particular y_{0}\neq x_{0}), existe uma única solução y(x) satisfazendo y(x_{0})=y_{0}.
O conteúdo é cálculo de EDOs homogêneas e o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf. Para resolver, vamos (i) verificar a homogeneidade, (ii) aplicar a substituição y=vx e separar variáveis, e (iii) usar o teorema de existência e unicidade num domínio onde o denominador não se anula.
Passo 2
Verificamos que o lado direito
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}}
é homogêneo de grau zero, ou seja, para todo \lambda\neq0
-\tfrac12\,v^{-2}-\ln\lvert v\rvert = \ln\lvert x\rvert + C.
Voltando a v=y/x, obtemos a solução geral implícita
-\frac{1}{2}\,\frac{x^{2}}{y^{2}} -\ln\Bigl\lvert\frac{y}{x}\Bigr\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.
Passo 5
Para garantir existência e unicidade, note que a função
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}-y^{2}}
e sua derivada parcial \partial f/\partial y são contínuas num conjunto aberto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}-y^{2}\neq0\}.
Se \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) satisfaz x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0, então pelo teorema de Picard–Lindelöf existe uma única solução y(x) que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e continua enquanto x^{2}-y(x)^{2}\neq0.
Resposta
A equação é homogênea e, aplicando y=vx, separa-se variáveis para obter a família de soluções implícitas
-\frac{1}{2}\,\frac{x^{2}}{y^{2}} -\ln\!\Bigl\lvert\frac{y}{x}\Bigr\rvert =\ln\lvert x\rvert + C.
Como f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas em D=\{x^{2}-y^{2}\neq0\}, pelo teorema de existência e unicidade há exatamente uma solução que satisfaz y(x_{0})=y_{0} sempre que x_{0}^{2}-y_{0}^{2}\neq0.