Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução, disdinta de zero, com precisão de 10^{-3} para os problemas:
h(x)=\ln (x)-\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver
h(x)=\ln(x)-\sin(x)=0
usando o Método da Bisseção e obter uma raiz distinta de zero com precisão de 10^{-3}.
Conteúdo: método de busca binária em função contínua.

Passo 2

Precisamos achar um intervalo [a,b] em que h(a) e h(b) tenham sinais opostos. Calculando:
h(1)=\ln(1)-\sin(1)=0 - 0{,}84147\approx -0{,}8415<0,
h(2)=\ln(2)-\sin(2)=0{,}6931 - 0{,}9093\approx -0{,}2162<0,
h(3)=\ln(3)-\sin(3)=1{,}0986 - 0{,}1411\approx 0{,}9575>0.
Logo, há mudança de sinal em [2,3], pois h(2)<0 e h(3)>0.

Passo 3

O critério de parada do método é reduzir o tamanho do intervalo a menos que a tolerância \varepsilon=10^{-3}. Após n iterações, o comprimento do intervalo inicial \Delta_0=b-a=1 passa a ser
\Delta_n = \frac{\Delta_0}{2^n} = \frac{1}{2^n}.
Queremos \Delta_n<10^{-3}, ou seja
2^n > 10^3 \quad\Longrightarrow\quad n > \log_2(10^3)\approx 9{,}97.
Portanto, são necessárias n=10 iterações para garantir o erro em x menor que 10^{-3}.

Passo 4

Definindo a_0=2, b_0=3, a cada iteração calculamos
c_i = \frac{a_{i-1}+b_{i-1}}{2},\quad h(c_i)=\ln(c_i)-\sin(c_i),
e escolhemos o subintervalo onde há mudança de sinal. Nas primeiras iterações:
i) i=1:
c_1=\frac{2+3}{2}=2{,}5,\quad h(c_1)\approx 0{,}9163-0{,}5985=0{,}3178>0,
sinal muda em [2,2{,}5].
ii) i=2:
c_2=\frac{2+2{,}5}{2}=2{,}25,\quad h(c_2)\approx 0{,}8109-0{,}7781=0{,}0328>0,
novo intervalo [2,2{,}25].
iii) i=3:
c_3=\frac{2+2{,}25}{2}=2{,}125,\quad h(c_3)\approx 0{,}7538-0{,}8489=-0{,}0951<0,
agora [2{,}125,2{,}25].
iv) i=4:
c_4=\frac{2{,}125+2{,}25}{2}=2{,}1875,\quad h(c_4)\approx 0{,}7826-0{,}8169=-0{,}0343<0,
intervalo [2{,}1875,2{,}25].
v) i=5:
c_5=\frac{2{,}1875+2{,}25}{2}=2{,}21875,\quad h(c_5)\approx 0{,}7967-0{,}7985=-0{,}0018<0,
intervalo [2{,}21875,2{,}25].
Repetindo até i=10, obtemos aproximadamente
[a_{10},b_{10}]=[2{,}1865234375,\;2{,}1875],
com b_{10}-a_{10}=0{,}0009765625<10^{-3}.

Passo 5

O ponto médio desse último intervalo é
c_{10}=\frac{2{,}1865234375+2{,}1875}{2}\approx2{,}18701171875.
Arredondando para a precisão desejada ( 10^{-3}), temos
x\approx2{,}187.

Resposta

A raiz de h(x)=\ln(x)-\sin(x) distinta de zero, obtida por bisseção com erro em x de no máximo 10^{-3}, é
x\approx2{,}187.

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