Verifique que às equações são equações diferencias exatas e resolva.
\left[y \cos (x y)+\frac{y}{\sqrt{x}}\right] d x+\left[x \cos (x y)+2 \sqrt{x}+\frac{1}{y}\right] d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left[y \cos (x y)+\frac{y}{\sqrt{x}}\right] dx+\left[x \cos (x y)+2 \sqrt{x}+\frac{1}{y}\right] dy=0.
O que precisa ser feito:
  • Verificar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar a solução geral (implícita).
    Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar M(x,y)=y\cos(xy)+\dfrac{y}{\sqrt{x}}.
  • Podemos identificar N(x,y)=x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\dfrac{1}{y}.
    Observação sobre domínio (útil para a solução): há \sqrt{x} e \dfrac{1}{y}, portanto trabalhar em regiões onde x>0 e y\neq0.

Passo 2

Conceito e critério para exatidão (explicado devagarinho): uma equação da forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N. Um teste prático — quando M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo — é verificar
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Agora calculamos as derivadas parciais passo a passo.
Calcule \dfrac{\partial M}{\partial y}. Lembre que ao derivar y\cos(xy) em relação a y usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\cos(xy)\big)=\cos(xy)+y\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial y}(xy)=x, isso dá
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\cos(xy)\big)=\cos(xy)-x y\sin(xy).
A outra parcela de M é \dfrac{y}{\sqrt{x}}; ao derivar em relação a y ela vira \dfrac{1}{\sqrt{x}}. Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=\cos(xy)-x y\sin(xy)+\frac{1}{\sqrt{x}}.
Calcule \dfrac{\partial N}{\partial x}. Para x\cos(xy) aplicamos também produto e cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos(xy)\big)=\cos(xy)+x\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y, isso dá
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos(xy)\big)=\cos(xy)-x y\sin(xy).
Para 2\sqrt{x} temos \dfrac{d}{dx}2\sqrt{x}=2\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}. E \dfrac{1}{y} não depende de x, então sua derivada é 0. Assim
\frac{\partial N}{\partial x}=\cos(xy)-x y\sin(xy)+\frac{1}{\sqrt{x}}.
Comparando, vemos que
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
portanto a equação é exata (no domínio considerado).

Passo 3

Procedimento para resolver uma equação exata (passo a passo didático): procurar uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M. Integramos M em relação a x, tratando y como constante, e adicionamos uma “função de integração” h(y) porque ao integrar em x pode aparecer uma função que depende só de y.
Integramos
M(x,y)=y\cos(xy)+\frac{y}{\sqrt{x}}
em relação a x:
primeiro termo: para integrar y\cos(xy) em x, fazemos a substituição u=xy. Então du=y\,dx, logo
\int y\cos(xy)\,dx=\int \cos(u)\,du=\sin(u)=\sin(xy).
Segundo termo:
\int \frac{y}{\sqrt{x}}\,dx = y\int x^{-1/2}\,dx = y\cdot 2\sqrt{x}=2y\sqrt{x}.
Somando e lembrando da função arbitrária h(y), obtemos
\Phi(x,y)=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+h(y).

Passo 4

Encontrar h(y) impondo \Phi_y=N. Calculamos \Phi_y a partir da expressão encontrada:
  • Derivada de \sin(xy) em relação a y: \cos(xy)\cdot x = x\cos(xy).
  • Derivada de 2y\sqrt{x} em relação a y: 2\sqrt{x}.
  • Derivada de h(y) em relação a y: h'(y).
Portanto
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x\cos(xy)+2\sqrt{x}+h'(y).
Mas devemos ter \Phi_y=N=x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\dfrac{1}{y}. Igualando as duas expressões:
x\cos(xy)+2\sqrt{x}+h'(y)=x\cos(xy)+2\sqrt{x}+\frac{1}{y}.
Cancelando termos iguais, obtemos
h'(y)=\frac{1}{y}.
Integrando em y:
h(y)=\ln|y| + \text{constante}.
Podemos absorver essa constante na constante geral da solução. Assim a função potencial (sem a constante global) é
\Phi(x,y)=\sin(xy)+2y\sqrt{x}+\ln|y|.

Passo 5

Interpretação final: a solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)=C, onde C é constante arbitrária. Relembrando a observação sobre domínio: foi necessário x>0 para \sqrt{x} e y\neq0 para \ln|y|.

Resposta

\sin(xy)+2y\sqrt{x}+\ln|y|=C

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