Verifique que às equações são equações diferencias exatas e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que precisa ser feito:
- Verificar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar a solução geral (implícita).
Informações importantes extraídas do enunciado: - Podemos identificar
. - Podemos identificar
.
Observação sobre domínio (útil para a solução): háe , portanto trabalhar em regiões onde e .
Passo 2
Conceito e critério para exatidão (explicado devagarinho): uma equação da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Um teste prático — quando
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo — é verificar
Agora calculamos as derivadas parciais passo a passo.
Calcule
. Lembre que ao derivar
em relação a
usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Como
, isso dá
A outra parcela de
é
; ao derivar em relação a
ela vira
. Portanto
Calcule
. Para
aplicamos também produto e cadeia:
Como
, isso dá
Para
temos
. E
não depende de
, então sua derivada é
. Assim
Comparando, vemos que
portanto a equação é exata (no domínio considerado).
Passo 3
Procedimento para resolver uma equação exata (passo a passo didático): procurar uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante, e adicionamos uma “função de integração”
porque ao integrar em
pode aparecer uma função que depende só de
.
Integramos
em relação a
:
primeiro termo: para integrar em
, fazemos a substituição
. Então
, logo
primeiro termo: para integrar
Segundo termo:
Somando e lembrando da função arbitrária
, obtemos
Passo 4
Encontrar
impondo
. Calculamos
a partir da expressão encontrada:
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Portanto
Mas devemos ter
. Igualando as duas expressões:
Cancelando termos iguais, obtemos
Integrando em
:
Podemos absorver essa constante na constante geral da solução. Assim a função potencial (sem a constante global) é
Passo 5
Interpretação final: a solução geral da equação exata é dada implicitamente por
, onde
é constante arbitrária. Relembrando a observação sobre domínio: foi necessário
para
e
para
.