Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^{\prime}(t)+y(t)=y^{2}(t)\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
y'(t) + y(t) = y^2(t)
que tem p(t)=1, q(t)=1 e expoente n=2. Vamos usar a substituição padrão v = y^{1-n} = y^{-1}.

Passo 2

Definindo v=y^{-1}, calculamos sua derivada usando a regra da cadeia:
v' = \frac{d}{dt}\bigl(y^{-1}\bigr) = -y^{-2}\,y'.

Passo 3

Usando a equação original y' = y^2 - y e substituindo em v', obtemos
v' = -\frac{y^2 - y}{y^2} = -1 + \frac{1}{y} = -1 + v.
Isso gera a equação linear
v' - v = -1.

Passo 4

Para resolver a equação linear v' - v = -1, usamos o fator integrante e^{-t}. Multiplicando ambos os lados por e^{-t} vem
e^{-t}v' - e^{-t}v = -e^{-t}
e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de v\,e^{-t}:
\frac{d}{dt}\bigl(v\,e^{-t}\bigr) = -e^{-t}.

Passo 5

Integrando dos dois lados obtemos
v\,e^{-t} = \int (-e^{-t})\,dt = e^{-t} + C,
onde C é constante de integração. Assim
v(t) = 1 + C\,e^{t}.

Passo 6

Voltando à variável original y, temos
y(t) = \frac{1}{v(t)} = \frac{1}{1 + C\,e^{t}}.
Além disso, a solução trivial y(t)=0 também satisfaz a equação original.

Resposta

y(t) = \frac{1}{1 + C\,e^{t}}, \quad C\in\mathbb{R}.
A solução trivial y(t)=0 também é válida.

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