Resolva as seguintes equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações/dados do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
- A raiz quadrada
aparece; isso implica que, para a equação clássica com raiz principal, consideramos (ou tratamos o caso separadamente). - O objetivo é encontrar a família geral de soluções
(ou soluções singulares, se houver).
Passo 2
Reconhecer o tipo de equação e a estratégia.
A equação tem a forma
A equação tem a forma
com
,
e
. Essa é uma equação de Bernoulli (caso
). A técnica padrão é fazer a substituição
Aqui
, portanto proponho
Antes de aplicar a substituição, anote que
é a raiz principal, logo
sempre que faz sentido usar
.
Passo 3
Calcular a relação entre
e
. Como
, por derivação:
Isolando
:
Agora substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Simplificar a equação resultante. Se
for identicamente zero trataremos depois; supondo
e dividindo por
(válido onde
):
Esta é uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear por fator integrante. A equação tem a forma
com
e
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
Passo 6
Integrar ambos os lados. Calculamos
Para avaliar a integral, faça a substituição
. Então
ou
. Assim
(Em resumo, a primitiva é
.) Portanto
Isolando
:
onde
é constante arbitrária real.
Passo 7
Voltar para
. Lembrando que
e que
quando interpretamos a raiz principal, obtemos
Elevando ambos os lados ao quadrado (e lembrando das restrições de sinal que vamos discutir a seguir):
Passo 8
Tratar soluções especiais e consistência de sinais.
- Caso
identicamente: isto é . Verifique na equação original: , então , logo é solução válida. Essa solução não aparece na família com constante (não é obtida por nenhum fixo), portanto é uma solução singular inclusa separadamente. - Sobre a família
: a substituição inicial fez (raiz principal), ou seja, exigimos . Assim, para que a função construída realmente resolva a equação original da forma escrita (com sendo a raiz principal não-negativa), deve ocorrer
para todos os
do intervalo que se está considerando. Se em algum ponto
tivermos
, então a função
não satisfará a equação original naquele ponto porque a identidade usada depois do quadrado envolveria o sinal de
. Em particular, a escolha
dá
e, portanto, a solução constante
(que é válida para todo
). Em resumo:
- A família generalizada é
com , porém deve-se exigir no intervalo de interesse para que corresponda à raiz principal . - Além dessa família, há a solução singular
.