Resolva as seguintes equações de Bernoulli
y^{\prime}(t)+t y(t)=6 t \sqrt{y(t)}\

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'(t)+t\,y(t)=6t\sqrt{y(t)}.
Informações/dados do enunciado:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
  • A raiz quadrada \sqrt{y(t)} aparece; isso implica que, para a equação clássica com raiz principal, consideramos y(t)\ge 0 (ou tratamos o caso y\equiv 0 separadamente).
  • O objetivo é encontrar a família geral de soluções y(t) (ou soluções singulares, se houver).

Passo 2

Reconhecer o tipo de equação e a estratégia.
A equação tem a forma
y'+p(t)y=q(t)\,y^{n},
com p(t)=t, q(t)=6t e n=\tfrac{1}{2}. Essa é uma equação de Bernoulli (caso n\neq1). A técnica padrão é fazer a substituição
u(t)=y(t)^{\,1-n}.
Aqui 1-n=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, portanto proponho
u(t)=y(t)^{1/2}=\sqrt{y(t)}.
Antes de aplicar a substituição, anote que u(t) é a raiz principal, logo u(t)\ge 0 sempre que faz sentido usar \sqrt{\cdot}.

Passo 3

Calcular a relação entre u' e y'. Como u=y^{1/2}, por derivação:
u'=\frac{1}{2}y^{-1/2}y'=\frac{1}{2}\frac{y'}{u}.
Isolando y':
y'=2u\,u'.
Agora substituímos y' e y=u^2 na equação original:
2u\,u' + t\,u^2 = 6t\,u.

Passo 4

Simplificar a equação resultante. Se u for identicamente zero trataremos depois; supondo u\not\equiv 0 e dividindo por 2u (válido onde u(t)\neq0):
u' + \frac{t}{2}u = 3t.
Esta é uma equação linear de primeira ordem para u(t).

Passo 5

Resolver a equação linear por fator integrante. A equação tem a forma
u' + P(t)u = Q(t),
com P(t)=\tfrac{t}{2} e Q(t)=3t. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{t}{2}\,dt\right)=\exp\!\left(\frac{t^2}{4}\right).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos
\bigl(u\,\mu\bigr)' = Q(t)\,\mu(t)=3t\,e^{t^2/4}.

Passo 6

Integrar ambos os lados. Calculamos
u(t)\,e^{t^2/4}=\int 3t\,e^{t^2/4}\,dt + C.
Para avaliar a integral, faça a substituição s=\tfrac{t^2}{4}. Então ds=\tfrac{t}{2}\,dt ou t\,dt=2\,ds. Assim
\int 3t\,e^{t^2/4}\,dt = 3\int t\,e^{s}\,dt = 3\int 2 e^{s}\,ds = 6 e^{s}+K = 6 e^{t^2/4}.
(Em resumo, a primitiva é 6 e^{t^2/4}.) Portanto
u(t)\,e^{t^2/4}=6 e^{t^2/4} + C.
Isolando u(t):
u(t)=6 + C e^{-t^2/4},
onde C é constante arbitrária real.

Passo 7

Voltar para y. Lembrando que u=\sqrt{y} e que u(t)\ge 0 quando interpretamos a raiz principal, obtemos
\sqrt{y(t)} = 6 + C e^{-t^2/4}.
Elevando ambos os lados ao quadrado (e lembrando das restrições de sinal que vamos discutir a seguir):
y(t)=\bigl(6 + C e^{-t^2/4}\bigr)^2.

Passo 8

Tratar soluções especiais e consistência de sinais.
  • Caso u(t)=0 identicamente: isto é y(t)\equiv 0. Verifique na equação original: y'=0, então 0 + t\cdot 0 = 6t\sqrt{0}=0, logo y\equiv 0 é solução válida. Essa solução não aparece na família com C constante (não é obtida por nenhum C fixo), portanto é uma solução singular inclusa separadamente.
  • Sobre a família y=(6 + C e^{-t^2/4})^2: a substituição inicial fez u=\sqrt{y} (raiz principal), ou seja, exigimos u(t)\ge 0. Assim, para que a função construída realmente resolva a equação original da forma escrita (com \sqrt{y} sendo a raiz principal não-negativa), deve ocorrer
6 + C e^{-t^2/4}\ge 0
para todos os t do intervalo que se está considerando. Se em algum ponto t_0 tivermos 6 + C e^{-t_0^2/4}<0, então a função y=(6 + C e^{-t^2/4})^2 não satisfará a equação original naquele ponto porque a identidade usada depois do quadrado envolveria o sinal de \sqrt{y}. Em particular, a escolha C=0 u\equiv6 e, portanto, a solução constante y\equiv 36 (que é válida para todo t). Em resumo:
  • A família generalizada é y(t)=\bigl(6 + C e^{-t^2/4}\bigr)^2 com C\in\mathbb{R}, porém deve-se exigir 6 + C e^{-t^2/4}\ge 0 no intervalo de interesse para que corresponda à raiz principal \sqrt{y}.
  • Além dessa família, há a solução singular y\equiv 0.

Resposta

y(t)=\bigl(6 + C e^{-t^2/4}\bigr)^2,\quad C\in\mathbb{R}, com a condição \;6 + C e^{-t^2/4}\ge 0\; no intervalo considerado\n y(t)\equiv 0

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