Mostre que, em um espaço euclidiano complexo, todo produto interno tem as seguintes propriedades:
lang<=alpha u, beta vrang<==baralpha betalang<=u, vrang<=

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano complexo V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, vale
lang<= alpha u,beta vrang<==alpha,beta,lang<= u,vrang<=
Por definição, o produto interno em V satisfaz:
  1. conjugado-simetria;
  2. conjugado-linearidade no primeiro argumento, isto é
lang<= alpha u,wrang<==alpha,lang<= u,wrang<=;
  1. linearidade no segundo argumento, ou seja
lang<= u,beta vrang<==beta,lang<= u,vrang<=;
  1. positividade.
    Para chegar à fórmula pedida basta usar as propriedades 2 e 3.

Passo 2

Aplique a conjugado-linearidade no primeiro argumento com w=beta v:
lang<= alpha u,beta vrang<= =alpha,lang<= u,beta vrang<=

Passo 3

Agora use a linearidade no segundo argumento em lang<= u,beta vrang<=:
lang<= u,beta vrang<= =beta,lang<= u,vrang<=
Substituindo na expressão do passo anterior, obtém-se
lang<= alpha u,beta vrang<= =alpha,beta,lang<= u,vrang<=

Resposta

lang<= alpha u,beta vrang<==alpha,beta,lang<= u,vrang<=.

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