Mostre que, em um espaço euclidiano complexo, todo produto interno tem as seguintes propriedades:
lang<=alpha u+beta v, wrang<==baralphalang<=u, wrang<=+barbetalang<=v, wrang<=

Passo 1

Vamos recordar os axiomas de um produto interno lang<=cdot,cdotrang<= em um espaço vetorial complexo V que nos interessam:
1. Linearidade no segundo argumento: para quaisquer u,v,win V e alpha,betainC,
lang<= u,,alphav+betawrang<= = alpha,lang<= u,vrang<= + beta,lang<= u,wrang<=
2. Conjugada-simetria: para quaisquer u,vin V,
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=
A partir desses dois fatos, vamos mostrar que o produto interno é conjugado-linear no primeiro argumento, ou seja,
lang<= alpha,u + beta,v,,wrang<= = alpha,lang<= u,wrang<= + beta,lang<= v,wrang<=

Passo 2

Primeiro, provamos a aditividade no primeiro argumento: para u1,u2,win V,
lang<= u1 + u2,,wrang<= = lang<= w,,u1 + u2rang<= (uso da conjugada-simetria)
= lang<= w,u1rang<= + lang<= w,u2rang<= (linearidade em 2º argumento) º
= lang<= w,u1rang<= + lang<= w,u2rang<= = lang<= u1,wrang<= + lang<= u2,wrang<=

Passo 3

Agora, a homogeneidade conjugada para um escalar alphainC:
lang<= alpha,u,,wrang<= = lang<= w,,alpha,urang<= (conjugada-simetria)
= alpha,lang<= w,urang<= (linearidade em 2º argumento) º
= alpha,lang<= w,urang<= = alpha,lang<= u,wrang<=

Passo 4

Por fim, para alpha,betainC e u,v,win V,
lang<= alpha,u+beta,v,,wrang<= = lang<= alpha,u,wrang<= + lang<= beta,v,wrang<= (aditividade do Passo 2)
= alpha,lang<= u,wrang<= + beta,lang<= v,wrang<= (homo>=neidade do Passo 3)

Resposta

lang<= alpha u+beta v, wrang<= = alpha,lang<= u,wrang<= + beta,lang<= v,wrang<=

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