Sejam boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) vetores arbitrários de C^n. Verifique se lang<=u, vrang<=, definido em cada item abaixo, é um produto interno em C^n. Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para vi in C,|vi|=raizvi vi.
lang<=u, vrang<==sumi=1^n ui|vi|

Passo 1

O enunciado pede para checar se, em C^n, a aplicação
lang<= u,vrang<= ;=;sumi=1^nui,l|vir|
é um produto interno. Para isso, vamos usar a definição de produto interno num espaço complexo, que exige:
1. (Sesquissimetria) lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
2. (Linearidade em u)
a) lang<= u+w,vrang<==lang<= u,vrang<=+lang<= w,vrang<=.
b) lang<= alphau,vrang<==alpha,lang<= u,vrang<= para alphainC.
3. (Conjugado\hyp linearidade em v)
lang<= u,alphav+wrang<==alpha,lang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<=.
4. (Positividade definida) lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0, e lang<= u,urang<=inR.

Passo 2

Verificamos primeiro a linearidade na primeira componente. Sejam u,w,vinC^n e alphainC.
a)
lang<= u+w,vrang<= =sumi=1^n (ui+wi),l|vir| =sumi=1^n ui,l|vir|+sumi=1^n wi,l|vir| =lang<= u,vrang<=+lang<= w,vrang<=
b)
lang<= alphau,vrang<= =sumi=1^n (alpha ui),l|vir| =alphasumi=1^n ui,l|vir| =alpha,lang<= u,vrang<=
Logo, a linearidade em u vale.

Passo 3

Agora testamos a conjugado\hyp linearidade (additividade e homogeneidade) em v. Tomando u fixo e alphainC,
lang<= u,alphavrang<= =sumi=1^n ui,l|alpha vir| =sumi=1^n ui,|alpha|,l|vir| =|alpha|,lang<= u,vrang<= ;neq;alpha,lang<= u,vrang<= (em >=ral |alpha|neq|alpha|)
Também lang<= u,v+wrang<=neqlang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<= porque
l|vi+wir|neql|vir|+l|wir| em geral.
Portanto falha a conjugado\hyp linearidade em v.

Passo 4

Testamos a hermiticidade (sesquissimetria).
lang<= v,urang<= =sumi=1^n vi,l|uir|Longrightarrow lang<= v,urang<= =sumi=1^n vi,l|uir|
Mas
lang<= u,vrang<= =sumi=1^n ui,l|vir|
não coincide em geral com sumivi,|ui|. Logo a sesquissimetria falha.

Passo 5

Por fim, a positividade definida. Se uneq0,
lang<= u,urang<= =sumi=1^n ui,l|uir|
nem sempre é real e positivo. Exemplo: em dimensão 1, para u1=i temos lang<= i,irang<==i,|i|=i, que não é real positivo. Portanto falha a positividade definida.

Resposta

Não é produto interno. Violam\hyp se
  • a sesquissimetria lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=,
  • a aditividade e homogeneidade conjugada na segunda componente,
  • a positividade definida lang<= u,urang<=>0.

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