Sejam e vetores arbitrários de . Verifique se , definido em cada item abaixo, é um produto interno em . Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para . lang<=u, vrang<==sumi=1^n ui|vi|
Passo 1
O enunciado pede para checar se, em C^n, a aplicação
lang<= u,vrang<= ;=;sumi=1^nui,l|vir|
é um produto interno. Para isso, vamos usar a definição de produto interno num espaço complexo, que exige: 1. (Sesquissimetria) lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=. 2. (Linearidade em u)
a) lang<= u+w,vrang<==lang<= u,vrang<=+lang<= w,vrang<=.
b) lang<= alphau,vrang<==alpha,lang<= u,vrang<= para alphainC. 3. (Conjugado\hyp linearidade em v) lang<= u,alphav+wrang<==alpha,lang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<=. 4. (Positividade definida) lang<= u,urang<=>0 sempre que uneq0, e lang<= u,urang<=inR.
Passo 2
Verificamos primeiro a linearidade na primeira componente. Sejam u,w,vinC^n e alphainC.
a)
Também lang<= u,v+wrang<=neqlang<= u,vrang<=+lang<= u,wrang<= porque l|vi+wir|neql|vir|+l|wir| em geral.
Portanto falha a conjugado\hyp linearidade em v.
não coincide em geral com sumivi,|ui|. Logo a sesquissimetria falha.
Passo 5
Por fim, a positividade definida. Se uneq0,
lang<= u,urang<= =sumi=1^n ui,l|uir|
nem sempre é real e positivo. Exemplo: em dimensão 1, para u1=i temos lang<= i,irang<==i,|i|=i, que não é real positivo. Portanto falha a positividade definida.
Resposta
Não é produto interno. Violam\hyp se
a sesquissimetria lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=,
a aditividade e homogeneidade conjugada na segunda componente,