Mostre que é um espaço vetorial real, o conjunto V=\mathbb{R}_{++}, com as operações:
i) x+y:=x \cdot y, \quad \forall \quad x, y \in V;
ii) a x=x^{a}, \quad \forall x \in V, \forall a \in \mathbb{R}.
  1. associatividade: (u+v)+w=u+(v+w), \forall u, v, w \in V.
  2. comutatividade: u+v=v+u, \forall u, v \in V.
  3. elemento neutro: \exists 0 \in V, tal que v+0=v, \forall v \in V.
  4. elemento simétrico: \forall v \in V, \exists(-v) \in V: v+(-v)=0.
  5. a(u+v)=a u+a v, \forall a \in F, u, v \in V.
  6. (a+b) u=a u+b u, \forall a, b \in F, u \in V.
  7. (a \cdot b) u=a(b u), \quad \forall a, b \in F, u \in V.
  8. 1 u=u, \forall u \in V.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto V=\mathbb{R}_{++}=\{x\in\mathbb{R}:x>0\} com as operações definidas por:
  • adição em V: para x,y\in V definir x+y:=x\cdot y;
  • multiplicação por escalar (escala real): para a\in\mathbb{R} e x\in V definir a x:=x^{a}.
O que precisa ser mostrado: verificar as propriedades listadas (1) a (8), isto é, provar que (V,+,\cdot) com essas operaçõessatisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}. Também é necessário checar que as operações ficam bem-definidas em V (fechamento).
Vou agora provar cada item passo a passo, explicando as propriedades de potência/relação com exponencial e logaritmo sempre que for preciso.

Passo 2

Fechamento das operações (observação necessária antes de provar axiomas).
  • Fechamento da “adição”: se u,v\in V então u\cdot v>0, logo u+v:=u\cdot v\in V. Portanto a operação + está bem definida em V.
  • Fechamento da multiplicação por escalar: se x\in V (ou seja x>0) e a\in\mathbb{R}, então define-se x^{a}=\exp(a\ln x). Como \exp(\cdot)>0 para todo argumento real, segue x^{a}>0. Logo a x=x^{a}\in V. Portanto a multiplicação por escalar está bem definida em V.
Explicação curta do porquê de usar \exp e \ln: para base positiva x e expoente real a a potência x^{a} é definida por x^{a}:=\exp(a\ln x); isso garante as propriedades usuais de potência e mostra imediatamente que x^{a}>0.

Passo 3

Provar associatividade da adição: (u+v)+w=u+(v+w) para todo u,v,w\in V.
  • Pela definição de + temos (u+v)+w=(u\cdot v)\cdot w e u+(v+w)=u\cdot(v\cdot w).
  • Como a multiplicação usual de reais é associativa, vale (u\cdot v)\cdot w = u\cdot (v\cdot w).
  • Portanto (u+v)+w=u+(v+w).
Comentário didático: aqui não houve mágica — a “adição” em V é simplesmente a multiplicação usual, que já é associativa. Na prova de prova, basta recordar que a associatividade é uma propriedade básica da multiplicação real.

Passo 4

Provar comutatividade da adição: u+v=v+u para todo u,v\in V.
  • Pela definição, u+v=u\cdot v e v+u=v\cdot u.
  • Como a multiplicação real é comutativa, u\cdot v=v\cdot u.
  • Logo u+v=v+u.
Comentário prático: isso mostra que a operação + em V é comutativa porque herdou essa propriedade da multiplicação real.

Passo 5

Provar existência do elemento neutro (vetor zero): existe 0\in V tal que v+0=v para todo v\in V.
  • Procuramos e\in V tal que v+e=v, ou seja v\cdot e=v.
  • Na multiplicação usual o elemento neutro é 1 porque v\cdot 1=v para todo v.
  • Como 1>0, tem 1\in V. Portanto o elemento neutro da adição em V é 0:=1.
  • Conclusão: v+0=v com 0=1.
Observação didática: aqui o “vetor zero” do espaço (denotado com 0 nos axiomas) corresponde ao número 1 na reta positiva. É só uma mudança de nome: o símbolo exigido pelos axiomas é 0, mas seu valor numérico é 1.

Passo 6

Provar existência do elemento simétrico (inverso aditivo): para todo v\in V existe (-v)\in V tal que v+(-v)=0.
  • Queremos w\in V com v\cdot w = 1 (lembre que 0 do axioma é 1 numericamente).
  • Tomando w=v^{-1}=\dfrac{1}{v} (recíproco de v), tem v\cdot v^{-1}=1.
  • Como v>0 implica v^{-1}>0, então v^{-1}\in V.
  • Logo definimos (-v):=v^{-1}. Assim v+(-v)=v\cdot v^{-1}=1=0 (onde 0 é o elemento neutro já identificado).
Comentário: o inverso aditivo aqui é o recíproco multiplicativo usual.

Passo 7

Preparar propriedades de potências que serão usadas nos axiomas envolvendo escalares. Para x>0 e a,b\in\mathbb{R} valem as leis:
  • \displaystyle x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}.
  • \displaystyle (x^{a})^{b}=x^{ab}.
  • \displaystyle x^{1}=x.
Justificativa (didática, curta): usando a definição x^{a}=\exp(a\ln x),
x^{a+b}=\exp\big((a+b)\ln x\big)=\exp(a\ln x)\cdot\exp(b\ln x)=x^{a}\cdot x^{b},
e
(x^{a})^{b}=\exp\big(b\ln(x^{a})\big)=\exp\big(b\cdot a\ln x\big)=x^{ab}.
Essas identidades são válidas porque \exp transforma soma em produto e \ln transforma potência em múltiplo.

Passo 8

Provar distributividade do escalar sobre a soma de vetores: a(u+v)=a u+a v para todo a\in\mathbb{R} e u,v\in V.
  • Escrevendo as definições,
\text{LHS} = a(u+v)= (u+v)^{a}=(u\cdot v)^{a}.
  • Pela propriedade de potência obtida no passo anterior,
(u\cdot v)^{a}=u^{a}\cdot v^{a}.
  • Usando a definição de soma em V (que é multiplicação), temos
u^{a}\cdot v^{a} = (u^{a})+(v^{a}) = a u + a v.
  • Portanto a(u+v)=a u + a v.
Exemplo numérico para intuir: tome u=2, v=8, a=\tfrac{1}{3}. Então u+v=2\cdot 8=16. Assim a(u+v)=16^{1/3}=2.5198\ldots. Já a u=2^{1/3}=1.2599\ldots e a v=8^{1/3}=2. Como a “soma” a u + a v é multiplicação usual, a u + a v = 1,2599\ldots\cdot 2 = 2.5198\ldots, igual ao LHS.
Comentário: atenção mental — no cálculo numérico se vê que a soma no espaço é produto usual, por isso a verificação dá certo.

Passo 9

Provar distributividade da soma de escalares sobre um vetor: (a+b)u=a u+b u para todo a,b\in\mathbb{R} e u\in V.
  • Pela definição,
\text{LHS} = (a+b)u = u^{\,a+b}.
  • Pela lei de potências do passo 7,
u^{\,a+b} = u^{a}\cdot u^{b}.
  • E usando a definição de soma em V,
u^{a}\cdot u^{b} = (u^{a}) + (u^{b}) = a u + b u.
  • Logo (a+b)u=a u+b u.
Pequena intuição: somar escalares antes de aplicar ao vetor é o mesmo que aplicar cada escalar e depois “somar” (multiplicar) os resultados.

Passo 10

Provar compatibilidade da multiplicação de escalares: (a\cdot b)u=a(bu) para todo a,b\in\mathbb{R} e u\in V.
  • Calcule os dois lados:
\text{LHS}=(a\cdot b)u = u^{ab}.
\text{RHS}=a(bu)= (bu)^{a}=(u^{b})^{a}.
  • Pela propriedade (x^{b})^{a}=x^{ab} do passo 7, tem (u^{b})^{a}=u^{ab}.
  • Portanto LHS = RHS, ou seja (a\cdot b)u=a(bu).
Comentário: esta propriedade é exatamente a associatividade entre multiplicação escalar e potência.

Passo 11

Provar unidade escalar: 1u=u para todo u\in V.
  • Pela definição, 1u=u^{1}.
  • Mas u^{1}=u (propriedade básica de potência).
  • Logo 1u=u.

Passo 12

Verificar que todos os axiomas de espaço vetorial foram satisfeitos e concluir.
  • Mostramos fechamento das operações.
  • Provamos que (V,+) é um grupo abeliano: associatividade (Passo 3), existência de neutro 0=1 (Passo 5), existência de inversos (-v)=v^{-1} (Passo 6), e comutatividade (Passo 4).
  • Demonstramos as propriedades que ligam escalares e vetores: Passos 8, 9, 10, 11.
  • Todas as igualdades usaram propriedades válidas para x>0 e expoentes reais, justificadas pela definição x^{a}=\exp(a\ln x).
Além da verificação direta, há uma interpretação conceitual útil (para fixar a intuição): a aplicação
\varphi: V\to\mathbb{R},\qquad \varphi(x)=\ln x
é um isomorfismo de espaços vetoriais se em \mathbb{R} usarmos a adição usual e multiplicação escalar usual, porque
\varphi(x+y)=\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y=\varphi(x)+\varphi(y),
e
\varphi(a x)=\ln(x^{a})=a\ln x=a\varphi(x).
Isso mostra de forma rápida e elegante que V com as operações dadas é idêntico (isomorfo) ao espaço vetorial (\mathbb{R},+), e portanto satisfaz todos os axiomas. Mas acima já provamos tudo explicitamente.

Resposta

V=\mathbb{R}_{++} com x+y:=x\cdot y e a x:=x^{a} é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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