Mostre que é um espaço vetorial real, o conjunto
, com as operações:
i)
;
ii)
.
- associatividade:
.
- comutatividade:
.
- elemento neutro:
, tal que
.
- elemento simétrico:
.
-
.
-
.
-
.
-
.
i)
ii)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações definidas por:
- adição em
: para definir ; - multiplicação por escalar (escala real): para
e definir .
O que precisa ser mostrado: verificar as propriedades listadas (1) a (8), isto é, provar que
com essas operaçõessatisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
. Também é necessário checar que as operações ficam bem-definidas em
(fechamento).
Vou agora provar cada item passo a passo, explicando as propriedades de potência/relação com exponencial e logaritmo sempre que for preciso.
Passo 2
Fechamento das operações (observação necessária antes de provar axiomas).
- Fechamento da “adição”: se
então , logo . Portanto a operação está bem definida em . - Fechamento da multiplicação por escalar: se
(ou seja ) e , então define-se . Como para todo argumento real, segue . Logo . Portanto a multiplicação por escalar está bem definida em .
Explicação curta do porquê de usar
e
: para base positiva
e expoente real
a potência
é definida por
; isso garante as propriedades usuais de potência e mostra imediatamente que
.
Passo 3
Provar associatividade da adição:
para todo
.
- Pela definição de
temos e . - Como a multiplicação usual de reais é associativa, vale
. - Portanto
.
Comentário didático: aqui não houve mágica — a “adição” em
é simplesmente a multiplicação usual, que já é associativa. Na prova de prova, basta recordar que a associatividade é uma propriedade básica da multiplicação real.
Passo 4
Provar comutatividade da adição:
para todo
.
- Pela definição,
e . - Como a multiplicação real é comutativa,
. - Logo
.
Comentário prático: isso mostra que a operação
em
é comutativa porque herdou essa propriedade da multiplicação real.
Passo 5
Provar existência do elemento neutro (vetor zero): existe
tal que
para todo
.
- Procuramos
tal que , ou seja . - Na multiplicação usual o elemento neutro é
porque para todo . - Como
, tem . Portanto o elemento neutro da adição em é . - Conclusão:
com .
Observação didática: aqui o “vetor zero” do espaço (denotado com
nos axiomas) corresponde ao número
na reta positiva. É só uma mudança de nome: o símbolo exigido pelos axiomas é
, mas seu valor numérico é
.
Passo 6
Provar existência do elemento simétrico (inverso aditivo): para todo
existe
tal que
.
- Queremos
com (lembre que do axioma é numericamente). - Tomando
(recíproco de ), tem . - Como
implica , então . - Logo definimos
. Assim (onde é o elemento neutro já identificado).
Comentário: o inverso aditivo aqui é o recíproco multiplicativo usual.
Passo 7
Preparar propriedades de potências que serão usadas nos axiomas envolvendo escalares. Para
e
valem as leis:
-
. -
. -
.
Justificativa (didática, curta): usando a definição
,
e
Essas identidades são válidas porque
transforma soma em produto e
transforma potência em múltiplo.
Passo 8
Provar distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
para todo
e
.
- Escrevendo as definições,
- Pela propriedade de potência obtida no passo anterior,
- Usando a definição de soma em
(que é multiplicação), temos
- Portanto
.
Exemplo numérico para intuir: tome
,
,
. Então
. Assim
. Já
e
. Como a “soma”
é multiplicação usual,
, igual ao LHS.
Comentário: atenção mental — no cálculo numérico se vê que a soma no espaço é produto usual, por isso a verificação dá certo.
Passo 9
Provar distributividade da soma de escalares sobre um vetor:
para todo
e
.
- Pela definição,
- Pela lei de potências do passo 7,
- E usando a definição de soma em
,
- Logo
.
Pequena intuição: somar escalares antes de aplicar ao vetor é o mesmo que aplicar cada escalar e depois “somar” (multiplicar) os resultados.
Passo 10
Provar compatibilidade da multiplicação de escalares:
para todo
e
.
- Calcule os dois lados:
- Pela propriedade
do passo 7, tem . - Portanto LHS = RHS, ou seja
.
Comentário: esta propriedade é exatamente a associatividade entre multiplicação escalar e potência.
Passo 11
Provar unidade escalar:
para todo
.
- Pela definição,
. - Mas
(propriedade básica de potência). - Logo
.
Passo 12
Verificar que todos os axiomas de espaço vetorial foram satisfeitos e concluir.
- Mostramos fechamento das operações.
- Provamos que
é um grupo abeliano: associatividade (Passo 3), existência de neutro (Passo 5), existência de inversos (Passo 6), e comutatividade (Passo 4). - Demonstramos as propriedades que ligam escalares e vetores: Passos 8, 9, 10, 11.
- Todas as igualdades usaram propriedades válidas para
e expoentes reais, justificadas pela definição .
Além da verificação direta, há uma interpretação conceitual útil (para fixar a intuição): a aplicação
é um isomorfismo de espaços vetoriais se em
usarmos a adição usual e multiplicação escalar usual, porque
e
Isso mostra de forma rápida e elegante que
com as operações dadas é idêntico (isomorfo) ao espaço vetorial
, e portanto satisfaz todos os axiomas. Mas acima já provamos tudo explicitamente.