Mostre que em um espaço vetorial se tem (alpha+beta) cdot(u+v)=alpha cdot u+alpha cdot v+beta cdot u+beta cdot v.

Passo 1

A questão pede para mostrar que em um espaço vetorial vale a identidade (α+β)·(u+v)=α·u+α·v+β·u+β·v. O conteúdo aqui são os axiomas de distributividade do produto escalar tanto em relação à soma de escalares quanto em relação à soma de vetores.

Passo 2

Pelo axioma de distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares temos que para qualquer vetor w vale (α+β)·w=α·w+β·w. Tomando w=u+v, obtemos
[(α+β)·(u+v)=α·(u+v)+β·(u+v)],

Passo 3

Agora aplicamos o axioma de distributividade do produto escalar em relação à soma de vetores: para qualquer escalar γ e vetores u,v vale γ·(u+v)=γ·u+γ·v. Assim,
[α·(u+v)=α·u+α·v] e [β·(u+v)=β·u+β·v].

Passo 4

Substituindo essas expressões em α·(u+v)+β·(u+v), temos
[α·u+α·v+β·u+β·v], que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

(α+β)·(u+v)=α·u+α·v+β·u+β·v

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