Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
x^2+y^2+2 z^2+2 x-2 y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
x^2+y^2+2z^2+2x-2y=0
e pede para verificar se ela é uma esfera (isto é, tem a forma
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
) e, em caso afirmativo, determinar centro e raio. Para isso vamos completar o quadrado nos termos em x e y e inspecionar o coeficiente de z^2.

Passo 2

Começamos completando quadrados em x e y:
x^2+2x = (x+1)^2-1, y^2-2y = (y-1)^2-1
Substituindo na equação original:
(x+1)^2-1 ;+;(y-1)^2-1 ;+;2z^2 ;=;0 Longrightarrow (x+1)^2+(y-1)^2+2z^2=2

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão:
(x+1)^2+(y-1)^2+2z^2=2 Longrightarrow (x+1)^22+(y-1)^22+z^2=1
Isso mostra que os coeficientes dos termos quadráticos não são todos iguais (temos tfrac12,tfrac12,1), portanto a superfície é um elipsoide e não uma esfera.

Resposta

A equação não define uma superfície esférica.

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