Seja
:
-espaço vetorial com
e
operações definidas por
Verifique se
é um espaço vetorial com essas operações.
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
com operações definidas por
e
Para ser espaço vetorial sobre
, é preciso que
seja um grupo abeliano (ou seja, a adição tem de ser associativa, comutativa, ter elemento neutro e inversos) e que a multiplicação por escalar satisfaça as propriedades usuais (distributividade em relação a soma de vetores e de escalares, associatividade, existência de escalar neutro).
Passo 2
Verificamos a comutatividade da adição. Dados dois vetores arbitrários
e
, temos
enquanto
Em geral
, pois exigiria
e
. Logo a adição não é comutativa, falhando o primeiro requisito de grupo abeliano.
Passo 3
Podemos ainda observar a falha no elemento neutro. Se existisse
tal que
e
, da primeira igualdade viria
e
, mas da segunda obteríamos
para todo
, o que é impossível salvo casos triviais. Portanto não há elemento neutro bilateral.