Seja (V,+, cdot) : C-espaço vetorial com V=C^2,+: C^2 times C^2 C^2 e cdot: C times C^2 C^2 operações definidas por
(z1, z2)+(w1, w2) & :=(z1+2 w1, z2+3 w2) lambda cdot(z1, z2) & :=(lambda z1, lambda z2)
Verifique se V é um espaço vetorial com essas operações.

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto V=C^2 com operações definidas por
(z1,z2)+(w1,w2):=(z1+2,w1,;z2+3,w2)
e
lambdacdot(z1,z2):=(lambda z1,;lambda z2)
Para ser espaço vetorial sobre C, é preciso que (V,+) seja um grupo abeliano (ou seja, a adição tem de ser associativa, comutativa, ter elemento neutro e inversos) e que a multiplicação por escalar satisfaça as propriedades usuais (distributividade em relação a soma de vetores e de escalares, associatividade, existência de escalar neutro).

Passo 2

Verificamos a comutatividade da adição. Dados dois vetores arbitrários (z1,z2) e (w1,w2), temos
(z1,z2)+(w1,w2) = (z1+2w1,;z2+3w2)
enquanto
(w1,w2)+(z1,z2) = (w1+2z1,;w2+3z2)
Em geral (z1+2w1,z2+3w2)neq(w1+2z1,w2+3z2), pois exigiria z1=w1 e z2=w2. Logo a adição não é comutativa, falhando o primeiro requisito de grupo abeliano.

Passo 3

Podemos ainda observar a falha no elemento neutro. Se existisse 0V=(e1,e2) tal que (z1,z2)+(e1,e2)=(z1,z2) e (e1,e2)+(z1,z2)=(z1,z2), da primeira igualdade viria e1=0 e e2=0, mas da segunda obteríamos (2z1,3z2)=(z1,z2) para todo z1,z2, o que é impossível salvo casos triviais. Portanto não há elemento neutro bilateral.

Resposta

V não é espaço vetorial, pois a adição não forma um grupo abeliano (falha a comutatividade e não existe elemento neutro bilateral).

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