Sejam os pontos F1=(-1,0) e F2=(1,0) e a reta dada por r: x+y=4. Encontrar a Equação Cartesiana da Elipse de focos F1 e F2, e tangente à reta r .

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana da elipse cujo conjunto de focos é ,F1=(-1,0) e ,F2=(1,0) e que seja tangente à reta r: x+y=4. Este é um problema de elipses definidas por soma de distâncias fixa 2a e de tangência a uma reta, que usaremos impondo discriminante zero.

Passo 2

Chamando de 2a o valor constante da soma das distâncias a F1 e F2, temos c=1 e a elipse pode ser escrita como
x^2a^2+y^2b^2=1,
com
b^2=a^2-c^2=a^2-1

Passo 3

Para impor que a reta x+y=4 seja tangente, escrevemos y=4-x e substituímos na elipse:
x^2a^2+(4-x)^2a^2-1=1
Multiplicando por a^2(a^2-1) obtém-se um polinômio quadrático em x:
(2a^2-1),x^2-8a^2,x+l(16a^2-(a^4-a^2)r)=0

Passo 4

A condição de tangência exige discriminante nulo:
De<a =(-8a^2)^2-4(2a^2-1)l(16a^2-(a^4-a^2)r)=0
Simplificando, chega-se a
2a^4-19a^2+17=0,
cuja solução positiva (com a^2>1) é
a^2=19+154=172

Passo 5

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b^2=a^2-1=172-1=152

Resposta

A equação da elipse é
x^2tfrac172+y^2tfrac152=1

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