Mostre um exemplo de um conjunto que possui minimal mas não possui mínimo.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo concreto de um conjunto que possua elementos minimais (ou seja, existam elementos que são mínimos locais no sentido da ordem) mas que não possua um elemento mínimo (ou seja, nenhum elemento é menor ou igual a todos os demais). Não são dadas outras informações; portanto devemos escolher um conjunto equipado com uma relação de ordem e mostrar, de forma explícita, que nele existem elementos minimais e que não existe um mínimo único.

Passo 2

Antes de construir o exemplo, vamos entender direitinho o que significam as palavras do enunciado (vou explicar bem passo a passo, como você pediu).
Definição de ordem parcial:
\text{Uma relação } \le \text{ em um conjunto } X \text{ é uma ordem parcial se for reflexiva, antissimétrica e transitiva.}çãéé
Aqui não preciso montar a prova dessas propriedades; só quero que você saiba que uma “ordem parcial” é um contexto comum onde aparecem conceitos de “minimal” e “mínimo”.
Definição de elemento mínimo:
\text{Um elemento } m\in S \text{ é mínimo em } S \text{ se, para todo } x\in S,\; m\le x.éí
Ou seja: mínimo é um campeão global — ele está abaixo (ou igual) a todo mundo do conjunto.
Definição de elemento minimal (ou minimial):
\text{Um elemento } m\in S \text{ é minimal em } S \text{ se não existe } x\in S \text{ com } x<m.éã
Aqui o símbolo x<m significa x\le m e x\neq m. Em palavras: m é minimal se não há nenhum outro elemento de S que seja estritamente menor que m. Note que ser minimal é uma condição local (não existe nenhum menor), enquanto ser mínimo é uma condição global (é menor que todos).
Comentário importante (útil para a prova): em ordens totais (onde qualquer par de elementos é comparável) um elemento minimal é automaticamente mínimo. O problema ocorre justamente em ordens parciais, onde dois elementos podem ser incomparáveis — então pode haver vários minimais sem haver um único mínimo.

Passo 3

Agora vamos escolher um exemplo simples e didático. Vou trabalhar com o conjunto das partes (power set) de \{1,2\} com a ordem por inclusão. Ou seja, o poset é
\bigl(\mathcal{P}(\{1,2\}),\subseteq\bigr).
Dentro desse poset, considere o subconjunto
S=\{\{1\},\{2\}\}.
Esse é um exemplo pequeno e fácil de desenhar mentalmente: apenas dois conjuntos, cada um contendo um elemento diferente.

Passo 4

Vou mostrar, passo a passo, que em S há elementos minimais e que não existe mínimo.
  1. Mostrar que \{1\} é minimal em S.
  • Pela definição de minimal: precisamos checar se existe algum X\in S tal que X\subsetneq\{1\} (ou seja, X\subseteq\{1\} e X\neq\{1\}).
  • Os subconjuntos de \{1\} são \varnothing e \{1\}. Dentre esses, o único candidato estritamente menor é \varnothing.
  • Mas \varnothing\notin S (isso é fato — estamos considerando apenas \{1\} e \{2\} em S).
  • Portanto não existe X\in S com X\subsetneq\{1\}. Logo \{1\} é minimal em S.
  1. Mostrar que \{2\} é minimal em S.
  • Mesma argumentação: os subconjuntos de \{2\} são \varnothing e \{2\}. O único estritamente menor seria \varnothing, mas \varnothing\notin S.
  • Logo \{2\} também é minimal em S.
Assim, S tem pelo menos dois elementos minimais: \{1\} e \{2\}.
  1. Mostrar que S não tem mínimo.
  • Para haver um mínimo m\in S precisaríamos que m\subseteq X para todo X\in S.
  • Testando m=\{1\}: temos \{1\}\subseteq\{1\} (ok) mas \{1\}\subseteq\{2\} é falso, pois \{1\} contém o elemento 1 que não está em \{2\}.
  • Testando m=\{2\}: análogo, \{2\}\not\subseteq\{1\}.
  • Como S tem apenas esses dois candidatos, concluímos que não existe m\in S com m\subseteq X para todo X\in S. Ou seja, não há mínimo em S.

Passo 5

Resumo da ideia e intuição para a prova: escolhemos uma ordem parcial (inclusão entre subconjuntos) em que existem elementos que não são comparáveis entre si ( \{1\} e \{2\} são incomparáveis). Cada um desses vetores incomparáveis não tem nenhum elemento estritamente menor dentro de S, por isso são minimais. Mas nenhum deles fica abaixo de todos os elementos de S, por isso não existe mínimo. Isso é exatamente a situação que o enunciado pediu: muitos minimais, nenhum mínimo.
Dica final para prova/exame: ao buscar exemplos, pense em ordens parciais com elementos incomparáveis — os power sets com inclusão, ou conjuntos de inteiros com divisibilidade, são fontes riquíssimas de exemplos simples.

Resposta

No poset \bigl(\mathcal{P}(\{1,2\}),\subseteq\bigr), o subconjunto S=\{\{1\},\{2\}\} possui elementos minimais \{1\} e \{2\} e não possui mínimo.

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