Mostre que se o mínimo de um conjunto existir, ele deve ser único.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, quando um conjunto tem um mínimo, esse mínimo não pode ser mais de um — isto é, existe apenas um elemento que seja mínimo.
Informações dadas (implícitas): temos um conjunto S com uma relação de ordem \le (por exemplo, a ordem usual nos reais). É assumido que o mínimo existe (portanto S\neq\varnothing). Nada mais é pedido.

Passo 2

Definição explícita e didática de “mínimo”: um elemento m\in S é chamado mínimo de S se, para todo x\in S, vale
m\le x.
Isso significa, com palavras simples, que m é menor ou igual a todos os elementos do conjunto — é o menor representante do conjunto. Exemplo concreto e palpável: no conjunto \{2,3,5\} o mínimo é 2, porque 2\le2, 2\le3 e 2\le5.

Passo 3

Ferramenta chave que vamos usar (explicada devagar): a propriedade de “antissimetria” da ordem \le. Ela diz: se, para dois elementos a e b, tivermos simultaneamente
a\le b\quad\text{e}\quad b\le a,
então necessariamente
a=b.
Por que isso é razoável nos reais? Porque a\le b e b\le a implicam que a-b\le0 e b-a\le0; somando essas desigualdades obtemos 0\le0, o que só é possível se a-b=0, logo a=b. Em provas de casa ou na prova, sempre cite essa propriedade quando for necessária.

Passo 4

Estratégia padrão para provar unicidade (modelo que funciona em muitas provas): assumir que existiriam dois mínimos e mostrar que eles devem ser iguais. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 5

Suponha que existam dois mínimos de S, digamos m\in S e n\in S, ambos mínimos. Pelo que significa ser mínimo temos, para todo x\in S,
m\le x\quad\text{e}\quad n\le x.
Em particular, aplicando essas propriedades ao próprio n e ao próprio m, obtemos
m\le n\quad\text{(porque \(m\) é \emph{mínimo}, então \(m\le n\))},éíã
n\le m\quad\text{(porque \(n\) é \emph{mínimo}, então \(n\le m\))}.éíã

Passo 6

Agora usamos a propriedade de antissimetria explicada no Passo 3: como temos simultaneamente m\le n e n\le m, concluímos que
m=n.
Portanto os dois supostos mínimos são, na verdade, o mesmo elemento.

Passo 7

Conclusão final e dica de prova para a prova real: mostramos que a hipótese “existem dois mínimos distintos” leva à conclusão de que eles não podem ser distintos, logo é impossível ter dois mínimos diferentes. Esse é o padrão típico — assumir duas soluções e provar que são iguais — que vale para muitos problemas de unicidade. Observação rápida: a prova usa a antissimetria da ordem; em estruturas sem antissimetria (ordens apenas pré-ordenadas) a conclusão precisa ser ajustada, mas nos casos usuais (números, inteiros, etc.) a antissimetria vale e a unicidade segue.

Resposta

O mínimo de um conjunto, se existir, é único.

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