Mostre que se o mínimo de um conjunto existir, ele deve ser único.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, quando um conjunto tem um mínimo, esse mínimo não pode ser mais de um — isto é, existe apenas um elemento que seja mínimo.
Informações dadas (implícitas): temos um conjunto com uma relação de ordem
(por exemplo, a ordem usual nos reais). É assumido que o mínimo existe (portanto
). Nada mais é pedido.
Informações dadas (implícitas): temos um conjunto
Passo 2
Definição explícita e didática de “mínimo”: um elemento
é chamado mínimo de
se, para todo
, vale
Isso significa, com palavras simples, que
é menor ou igual a todos os elementos do conjunto — é o menor representante do conjunto. Exemplo concreto e palpável: no conjunto
o mínimo é
, porque
,
e
.
Passo 3
Ferramenta chave que vamos usar (explicada devagar): a propriedade de “antissimetria” da ordem
. Ela diz: se, para dois elementos
e
, tivermos simultaneamente
então necessariamente
Por que isso é razoável nos reais? Porque
e
implicam que
e
; somando essas desigualdades obtemos
, o que só é possível se
, logo
. Em provas de casa ou na prova, sempre cite essa propriedade quando for necessária.
Passo 4
Estratégia padrão para provar unicidade (modelo que funciona em muitas provas): assumir que existiriam dois mínimos e mostrar que eles devem ser iguais. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 5
Suponha que existam dois mínimos de
, digamos
e
, ambos mínimos. Pelo que significa ser mínimo temos, para todo
,
Em particular, aplicando essas propriedades ao próprio
e ao próprio
, obtemos
Passo 6
Agora usamos a propriedade de antissimetria explicada no Passo 3: como temos simultaneamente
e
, concluímos que
Portanto os dois supostos mínimos são, na verdade, o mesmo elemento.
Passo 7
Conclusão final e dica de prova para a prova real: mostramos que a hipótese “existem dois mínimos distintos” leva à conclusão de que eles não podem ser distintos, logo é impossível ter dois mínimos diferentes. Esse é o padrão típico — assumir duas soluções e provar que são iguais — que vale para muitos problemas de unicidade. Observação rápida: a prova usa a antissimetria da ordem; em estruturas sem antissimetria (ordens apenas pré-ordenadas) a conclusão precisa ser ajustada, mas nos casos usuais (números, inteiros, etc.) a antissimetria vale e a unicidade segue.
Resposta
O mínimo de um conjunto, se existir, é único.