Mostre que se existe uma aplicação linear contínua de um espaço reflexivo
sobre um espaço de Banach
, então
também é reflexivo.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço de Banach reflexivo e que existe uma aplicação linear contínua e sobrejetora
onde
é outro espaço de Banach. Queremos mostrar que
também é reflexivo, ou seja, que a aplicação canônica
é sobrejeta. Para isso, vamos usar o fato de que
é isomorfo ao quociente
e que quocientes de espaços reflexivos são reflexivos.
Passo 2
Como
é linear, contínua e sobrejetora, o núcleo
é um subespaço fechado de
. Então o quociente
é um espaço de Banach. Além disso, definindo
vemos que
é um isomorfismo linear contínuo bijetivo. Logo
(isto é,
e
são isomorfos como espaços de Banach).
Passo 3
Agora usamos que
é reflexivo. Denotemos por
a inclusão canônica, que é bijetora por reflexividade. Vamos mostrar que
também é reflexivo.
-
Primeiro note queonde
. -
Em seguidaMas, em qualquer Banach reflexivo, temospois
é todojX(X) eX^** é fechado. LogojX(ker T) (X / ker T)^** ;cong; X^** / jX(ker T) ;cong; X / ker T Isso mostra que a inclusão canônicajX/ker T : X/ker T ;longrightarrow; (X/ker T)^** é bijetora, ou seja, é reflexivo.X/ker T
Passo 4
Como
Y é isomorfo ao reflexivo
X/ker T , concluímos que
Y também é reflexivo.