Mostre que se existe uma aplicação linear contínua de um espaço reflexivo X sobre um espaço de Banach Y, então Y também é reflexivo.

Passo 1

O enunciado diz que X é um espaço de Banach reflexivo e que existe uma aplicação linear contínua e sobrejetora
T : X longrightarrow Y,
onde Y é outro espaço de Banach. Queremos mostrar que Y também é reflexivo, ou seja, que a aplicação canônica
jY : Y longrightarrow Y^**
é sobrejeta. Para isso, vamos usar o fato de que Y é isomorfo ao quociente X/ker T e que quocientes de espaços reflexivos são reflexivos.

Passo 2

Como T é linear, contínua e sobrejetora, o núcleo ker T é um subespaço fechado de X. Então o quociente
X / ker T
é um espaço de Banach. Além disso, definindo
widetilde T : X / ker T ;longrightarrow; Y, widetilde Tl(x + ker Tr) = T(x),
vemos que widetilde T é um isomorfismo linear contínuo bijetivo. Logo
Y ;cong; X / ker T
(isto é, Y e X/ker T são isomorfos como espaços de Banach).

Passo 3

Agora usamos que X é reflexivo. Denotemos por
jX : X longrightarrow X^**
a inclusão canônica, que é bijetora por reflexividade. Vamos mostrar que X/ker T também é reflexivo.
  1. Primeiro note que
    (X / ker T)^* ;cong; (ker T)^circ
    onde (ker T)^circ = ,varphiin X^*mid varphi|ker T=0.
  2. Em seguida
    (X / ker T)^** ;cong; l((ker T)^circr)^* ;cong; X^** / l((ker T)^circr)^circ
    Mas, em qualquer Banach reflexivo, temos
    l((ker T)^circr)^circ = jX(ker T)^,X^** = jX(ker T)
    pois jX(X) é todo X^** e jX(ker T) é fechado. Logo
    (X / ker T)^** ;cong; X^** / jX(ker T) ;cong; X / ker T
    Isso mostra que a inclusão canônica
    jX/ker T : X/ker T ;longrightarrow; (X/ker T)^**
    é bijetora, ou seja, X/ker T é reflexivo.

Passo 4

Como Y é isomorfo ao reflexivo X/ker T, concluímos que Y também é reflexivo.

Resposta

Y é reflexivo.

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