Seja
uma matriz
que tem
valores próprios distintos, e
uma matriz
que comuta com
(ou seja,
).
(a) Mostre que se
é um vector próprio de
, então também é um vector próprio de
.
(b) Os valores próprios de
serão necessáriamente distintos? Justifique.
(c) Diga, justificando, se
é diagonalizável.
(d) Seja
. Mostre que a matriz
é diagonalizável e indique, em função dos valores próprios de
, uma matriz diagonal
semelhante a
.
(a) Mostre que se
(b) Os valores próprios de
(c) Diga, justificando, se
(d) Seja
Passo 1
O enunciado trata de duas matrizes
e
em
tais que
tem
valores próprios distintos (logo é diagonalizável com
autovetores independentes) e
. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores, além do fato de que a multiplicidade geométrica de cada valor próprio de
é 1, para mostrar que
e
podem ser simultaneamente diagonalizadas, e depois estender ao polinômio em
.
Passo 2
(a) Seja
um autovetor de
associado ao autovalor
, ou seja,
Como
, temos
Isto significa que
é também um vetor do espaço próprio de
relativo a
. Mas esse espaço próprio é de dimensão 1 (os autovalores de
são distintos), logo
deve ser múltiplo de
: existe
tal que
Portanto,
é autovetor de
.
Passo 3
(b) O fato de
ter valores próprios distintos garante apenas que cada espaço próprio de
é unidimensional e contém um autovetor comum a
. Isso não obriga os autovalores
de
(obtidos em
) a serem distintos entre si. Por exemplo, se
então todos os autovalores de
valem 1, com multiplicidade
. Concluímos que os valores próprios de
não precisam ser distintos.
Passo 4
(c) Já que
tem
autovetores independentes
e cada um deles é também autovetor de
, obtemos
autovetores independentes de
. Dessa forma
também é diagonalizável (basta usar essa base comum).
Passo 5
(d) Defina
Como
é um polinômio em
, ele comuta com
e, pelo mesmo argumento do item (a), compartilha os autovetores
de
. Além disso,
onde
é o autovalor de
associado a
e
Logo
tem
autovetores independentes e é diagonalizável. A matriz diagonal semelhante a
é
Resposta
(a) Se
e
, então
. Como o espaço próprio de
é 1-dimensional,
é múltiplo de
, ou seja,
é autovetor de
.
(b) Não necessariamente: por exemplo, tem todos os autovalores iguais a 1.
(c) Sim: possui os mesmos
autovetores independentes de
, logo é diagonalizável.
(d) compartilha os autovetores de
e cada autovetor
satisfaz
. Assim
é diagonalizável e
(b) Não necessariamente: por exemplo,
(c) Sim:
(d)
é a matriz diagonal semelhante a
.