Seja A uma matriz n times n que tem n valores próprios distintos, e B uma matriz n times n que comuta com A (ou seja, A B=B A ).
(a) Mostre que se u é um vector próprio de A, então também é um vector próprio de B.
(b) Os valores próprios de B serão necessáriamente distintos? Justifique.
(c) Diga, justificando, se B é diagonalizável.
(d) Seja M=p0 I+p1 A+p2 A^2+cdots+pm A^m. Mostre que a matriz M é diagonalizável e indique, em função dos valores próprios de A, uma matriz diagonal Lambda semelhante a M.

Passo 1

O enunciado trata de duas matrizes A e B em C^ntimes n tais que A tem n valores próprios distintos (logo é diagonalizável com n autovetores independentes) e AB=BA. Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores, além do fato de que a multiplicidade geométrica de cada valor próprio de A é 1, para mostrar que A e B podem ser simultaneamente diagonalizadas, e depois estender ao polinômio em A.

Passo 2

(a) Seja uneq0 um autovetor de A associado ao autovalor lambda, ou seja,
;A,u=lambda,u
Como AB=BA, temos
Al(Bur)=Bl(Aur)=B(lambda,u)=lambda,(B,u)
Isto significa que Bu é também um vetor do espaço próprio de A relativo a lambda. Mas esse espaço próprio é de dimensão 1 (os autovalores de A são distintos), logo Bu deve ser múltiplo de u: existe muinC tal que
B,u=mu,u
Portanto, u é autovetor de B.

Passo 3

(b) O fato de A ter valores próprios distintos garante apenas que cada espaço próprio de A é unidimensional e contém um autovetor comum a B. Isso não obriga os autovalores mu de B (obtidos em B,u=mu,u) a serem distintos entre si. Por exemplo, se B=I então todos os autovalores de B valem 1, com multiplicidade n. Concluímos que os valores próprios de B não precisam ser distintos.

Passo 4

(c) Já que A tem n autovetores independentes u1,dots,un e cada um deles é também autovetor de B, obtemos n autovetores independentes de B. Dessa forma B também é diagonalizável (basta usar essa base comum).

Passo 5

(d) Defina
M = p0I + p1A + p2A^2 + cdots + pmA^m
Como M é um polinômio em A, ele comuta com A e, pelo mesmo argumento do item (a), compartilha os autovetores ui de A. Além disso,
M,ui = l(p0 + p1lambdai + p2lambdai^2 + cdots + pmlambdai^mr),ui = p(lambdai),ui,
onde lambdai é o autovalor de A associado a ui e
p(lambdai)=p0+p1lambdai+cdots+pmlambdai^m
Logo M tem n autovetores independentes e é diagonalizável. A matriz diagonal semelhante a M é
Lambda = diagl(p(lambda1),p(lambda2),dots,p(lambdan)r)

Resposta

(a) Se A,u=lambda u e AB=BA, então A(Bu)=lambda(Bu). Como o espaço próprio de lambda é 1-dimensional, Bu é múltiplo de u, ou seja, u é autovetor de B.
(b) Não necessariamente: por exemplo, B=I tem todos os autovalores iguais a 1.
(c) Sim: B possui os mesmos n autovetores independentes de A, logo é diagonalizável.
(d) M=p(A) compartilha os autovetores de A e cada autovetor ui satisfaz M,ui=p(lambdai),ui. Assim M é diagonalizável e
Lambda=diagl(p(lambda1),dots,p(lambdan)r)
é a matriz diagonal semelhante a M.

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