Se X é reflexivo e M é um subespaço fechado de X, mostre que X / M também é reflexivo.

Passo 1

O enunciado afirma que X é um espaço de Banach reflexivo e que M é um subespaço fechado de X. Queremos mostrar que o quociente X/M também é reflexivo. Lembramos que:
  1. Como M é fechado e X é Banach, o espaço quociente X/M também é Banach.
  2. Um espaço de Banach Y é reflexivo se, e somente se, a aplicação canônica JY : Y to Y^**, JY(y)(varphi)=varphi(y) for bijetora.
  3. Vamos usar a identificação isométrica (X/M)^*cong M^perp dentro de X^*, e fatos sobre subespaços fechados de espaços reflexivos e sobre dual de espaço reflexivo.

Passo 2

Definimos a aplicação canônica de quociente
pi:Xto X/M, pi(x)=x+M,
e o operador
T:(X/M)^*to X^*, T(f)=fcircpi
Para cada fin (X/M)^* vale |T(f)|=|f| e a imagem de T é exatamente
M^perp=,varphiin X^*mid varphi(m)=0 forall,min M
Logo T é um isomorfismo isométrico de (X/M)^* sobre M^perp.

Passo 3

Como X é reflexivo, a aplicação canônica JX:Xto X^** é bijetora. Dualizando-a obtemos um isomorfismo
JX^*:X^***to X^*,
o que mostra que X^* também é reflexivo (ou seja, JX^*:X^*to X^*** é bijetora).

Passo 4

O subespaço M^perp é fechado em X^*, e sabemos que todo subespaço fechado de um espaço reflexivo também é reflexivo. Portanto M^perp é reflexivo.

Passo 5

Como (X/M)^* é isométrico a M^perp, concluímos que (X/M)^* é reflexivo. Finalmente, usando o fato de que um Banach Y é reflexivo se, e somente se, Y^* é reflexivo, segue que X/M é reflexivo.

Resposta

O quociente X/M é reflexivo.

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