Se
é reflexivo e
é um subespaço fechado de
, mostre que
também é reflexivo.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um espaço de Banach reflexivo e que
é um subespaço fechado de
. Queremos mostrar que o quociente
também é reflexivo. Lembramos que:
- Como
é fechado e é Banach, o espaço quociente também é Banach. - Um espaço de Banach
é reflexivo se, e somente se, a aplicação canônica for bijetora. - Vamos usar a identificação isométrica
dentro de , e fatos sobre subespaços fechados de espaços reflexivos e sobre dual de espaço reflexivo.
Passo 2
Definimos a aplicação canônica de quociente
e o operador
Para cada
vale
e a imagem de
é exatamente
Logo
é um isomorfismo isométrico de
sobre
.
Passo 3
Como
é reflexivo, a aplicação canônica
é bijetora. Dualizando-a obtemos um isomorfismo
o que mostra que
também é reflexivo (ou seja,
é bijetora).
Passo 4
O subespaço
é fechado em
, e sabemos que todo subespaço fechado de um espaço reflexivo também é reflexivo. Portanto
é reflexivo.
Passo 5
Como
é isométrico a
, concluímos que
é reflexivo. Finalmente, usando o fato de que um Banach
é reflexivo se, e somente se,
é reflexivo, segue que
é reflexivo.
Resposta
O quociente
é reflexivo.