Seja um espaço normado. Prove que é separável se, e somente se é separável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço normado , vale
onde
Lembremos que “separável” significa possuir um subconjunto denso contável. Vamos usar a definição de densidade em espaço métrico e construir conjuntos contáveis densos em cada direção da prova.
Passo 2
(“”) Suponha que seja separável. Então existe contável e denso em . Defina
Claramente é contável. Para ver que é denso em , tome e . Como é denso em , existe com
Então
Assim D' é denso em SX, provando que SX é separável.
Passo 3
(“Leftarrow”) Suponha agora que SX seja separável. Seja Esubset SX contável e denso. Considere o conjunto
Q=,qin Q:q>=0 e F=,q,e : qin Q,;ein E
Como produto de dois conjuntos contáveis, F é contável. Para ver que F é denso em X, tomemos xin X e varepsilon>0. Se x=0, seja q=0 e e qualquer, então qe=0 aproxima exatamente x. Se xneq0, escreva x=|x|,(x/|x|) e note que x/|x|in SX. Escolha primeiro ein E tal que
Como q pode ser escolhido próximo de |x|, tomamos de<a pequeno de modo que q<|x|+1 e ambos os termos fiquem <varepsilon/2. Logo |q,e-x|<varepsilon. Assim F é denso em X, e X é separável.
Resposta
Mostramos as duas implicações, logo X é separável se, e somente se, SX é separável.