Seja X um espaço normado. Prove que X é separável se, e somente se SX é separável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço normado X, vale
X é separável Long<=ftrightarrow SX é separável, éáéá
onde
SX=xin X:|x|=1
Lembremos que “separável” significa possuir um subconjunto denso contável. Vamos usar a definição de densidade em espaço métrico e construir conjuntos contáveis densos em cada direção da prova.

Passo 2

(“ Rightarrow”) Suponha que X seja separável. Então existe Dsubset X contável e denso em X. Defina
D'=ld|d|:din D,;dneq0r
Claramente D' é contável. Para ver que é denso em SX, tome xin SX e varepsilon>0. Como D é denso em X, existe din D com
|d - x|<varepsilon
Então
l|d|d|-xr| ;<=; l|d|d|-dr| +|d-x| =l|tfrac1|d|-1r||d|+|d-x| =|d-x|+|d-x| <2varepsilon
Assim D' é denso em SX, provando que SX é separável.

Passo 3

(“ Leftarrow”) Suponha agora que SX seja separável. Seja Esubset SX contável e denso. Considere o conjunto
Q=,qin Q:q>=0 e F=,q,e : qin Q,;ein E
Como produto de dois conjuntos contáveis, F é contável. Para ver que F é denso em X, tomemos xin X e varepsilon>0. Se x=0, seja q=0 e e qualquer, então qe=0 aproxima exatamente x. Se xneq0, escreva x=|x|,(x/|x|) e note que x/|x|in SX. Escolha primeiro ein E tal que
l|e - tfracx|x|r|<de<a,
e depois um racional qin Q tal que
|q-|x||<de<a,
onde de<a>0 será fixado em seguida. Então
|q,e - x| =|q,e - q,tfracx|x| + q,tfracx|x|-x| <= q,l|e-tfracx|x|r| + |q-|x||
Como q pode ser escolhido próximo de |x|, tomamos de<a pequeno de modo que q<|x|+1 e ambos os termos fiquem <varepsilon/2. Logo |q,e-x|<varepsilon. Assim F é denso em X, e X é separável.

Resposta

Mostramos as duas implicações, logo X é separável se, e somente se, SX é separável.

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