Mostre que existe uma raiz da equação 4 x^3-6 x+3 x-2=0 entre 1 e 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação 4x^3 - 6x + 3x - 2 = 0 e precisa mostrar que tem pelo menos uma raiz (ou seja, um valor de x que faz a equação ser igual a zero) entre 1 e 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta da Matemática, especificamente do Cálculo, que ajuda a identificar a existência de raízes em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nossos cálculos. Somando os termos semelhantes:
4x^3 - 6x + 3x - 2 = 4x^3 - 3x - 2
Agora nossa equação fica:
4x^3 - 3x - 2 = 0

Passo 3

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos calcular o valor da função f(x) = 4x^3 - 3x - 2 nos extremos do intervalo, ou seja, em x = 1 e x = 2.
Calculando f(1):
f(1) = 4(1)^3 - 3(1) - 2 = 4 - 3 - 2 = -1
Calculando f(2):
f(2) = 4(2)^3 - 3(2) - 2 = 4(8) - 6 - 2 = 32 - 6 - 2 = 24

Passo 4

Agora, analisamos os sinais dos resultados:
  • f(1) = -1 (negativo)
  • f(2) = 24 (positivo)
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aqui, nossa função f(x) é contínua (por ser um polinômio) e mudou de negativo para positivo entre x = 1 e x = 2.

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação 4x^3 - 3x - 2 = 0 no intervalo entre 1 e 2.

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