Mostre que existe uma raiz da equação
entre 1 e 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa mostrar que tem pelo menos uma raiz (ou seja, um valor de
que faz a equação ser igual a zero) entre 1 e 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta da Matemática, especificamente do Cálculo, que ajuda a identificar a existência de raízes em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nossos cálculos. Somando os termos semelhantes:
Agora nossa equação fica:
Passo 3
Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos calcular o valor da função
nos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, analisamos os sinais dos resultados:
-
(negativo) -
(positivo)
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo
, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Aqui, nossa função
é contínua (por ser um polinômio) e mudou de negativo para positivo entre
e
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo entre 1 e 2.