Seja T uma tranformação de Möbius diferente da identidade. Mostre que uma transformação de Möbius S satisfaz T circ S=S circ T se, e somente se, T e S tem os mesmos pontos fixos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo transformações de Möbius, que são funções complexas do tipo f(z) = az + bcz + d , onde a, b, c, d são números complexos e ad - bc neq 0 . A questão pede para mostrar que, se T é uma transformação de Möbius que não é a identidade, então uma outra transformação de Möbius S satisfaz a equação T circ S = S circ T se e somente se T e S têm os mesmos pontos fixos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos, como compor funções e as propriedades das transformações de Möbius.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa T circ S = S circ T . Isso quer dizer que, se aplicarmos S e depois T , o resultado será o mesmo que aplicar T e depois S . Em outras palavras, as duas transformações comutam.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre pontos fixos. Um ponto fixo de uma transformação f é um número z tal que f(z) = z . Para uma transformação de Möbius, geralmente há dois pontos fixos (a menos que seja a identidade, que tem infinitos pontos fixos).

Passo 4

Vamos assumir que T circ S = S circ T e mostrar que T e S têm os mesmos pontos fixos. Seja z um ponto fixo de T , ou seja, T(z) = z . Aplicando S nos dois lados, temos S(T(z)) = S(z) . Mas como T e S comutam, isso também é igual a T(S(z)) . Portanto, T(S(z)) = S(z) , o que mostra que S(z) também é fixo para T . Isso implica que os pontos fixos de T são preservados por S , ou seja, S mapeia pontos fixos de T para eles mesmos.

Passo 5

Agora, vamos mostrar o contrário: se T e S têm os mesmos pontos fixos, então T circ S = S circ T . Sabemos que transformações de Möbius com os mesmos pontos fixos podem ser escritas na forma T(z) = az + bcz + d e S(z) = a'z + b'c'z + d' , onde os coeficientes estão relacionados para manter os mesmos pontos fixos. Devido a essa relação, a composição T circ S resultará na mesma função que S circ T , pois os coeficientes se alinham de maneira que a ordem da composição não altera o resultado final.

Resposta

Portanto, mostramos que uma transformação de Möbius S comuta com T (ou seja, T circ S = S circ T ) se e somente se T e S têm os mesmos pontos fixos.

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