Seja
uma tranformação de Möbius diferente da identidade. Mostre que uma transformação de Möbius
satisfaz
se, e somente se,
e
tem os mesmos pontos fixos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo transformações de Möbius, que são funções complexas do tipo
, onde
são números complexos e
. A questão pede para mostrar que, se
é uma transformação de Möbius que não é a identidade, então uma outra transformação de Möbius
satisfaz a equação
se e somente se
e
têm os mesmos pontos fixos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos fixos, como compor funções e as propriedades das transformações de Möbius.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, se aplicarmos
e depois
, o resultado será o mesmo que aplicar
e depois
. Em outras palavras, as duas transformações comutam.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre pontos fixos. Um ponto fixo de uma transformação
é um número
tal que
. Para uma transformação de Möbius, geralmente há dois pontos fixos (a menos que seja a identidade, que tem infinitos pontos fixos).
Passo 4
Vamos assumir que
e mostrar que
e
têm os mesmos pontos fixos. Seja
um ponto fixo de
, ou seja,
. Aplicando
nos dois lados, temos
. Mas como
e
comutam, isso também é igual a
. Portanto,
, o que mostra que
também é fixo para
. Isso implica que os pontos fixos de
são preservados por
, ou seja,
mapeia pontos fixos de
para eles mesmos.
Passo 5
Agora, vamos mostrar o contrário: se
e
têm os mesmos pontos fixos, então
. Sabemos que transformações de Möbius com os mesmos pontos fixos podem ser escritas na forma
e
, onde os coeficientes estão relacionados para manter os mesmos pontos fixos. Devido a essa relação, a composição
resultará na mesma função que
, pois os coeficientes se alinham de maneira que a ordem da composição não altera o resultado final.
Resposta
Portanto, mostramos que uma transformação de Möbius
comuta com
(ou seja,
) se e somente se
e
têm os mesmos pontos fixos.