Suponha que o tempo médio de espera para um cliente ser atendido pelo funcionário da empresa para a qual ele está ligando seja 5 minutos. Para tanto, considere a função densidade de probabilidade
f(x)= 0 & se t<0 c e^-c t & se t >= 0
(a) Calcule a probabilidade de a ligação ser atendida no primeiro minuto
(b) Calcule a probabilidade de o consumidor esperar mais de 5 minutos para ser atendido.

Passo 1

Estamos diante de uma variável aleatória
ou seja, . O enunciado diz que o tempo médio de espera é 5 minutos, portanto . Vamos usar a relação entre a média e o parâmetro da exponencial e depois calcular (a) e (b) por integração de .

Passo 2

Para uma exponencial de parâmetro c vale
E[T]=1c
Como E[T]=5, obtemos
1c=5 Longrightarrow c=15

Passo 3

Para calcular a probabilidade de atendimento no primeiro minuto, isto é P(T<=1), fazemos
P(T<=1) =integral0^1c,e^-c t,dt =integral0^115e^-t/5,dt
Fazendo a integral,
integral0^1e^-t/5,dt =l[-5,e^-t/5r]0^1 =5l(1-e^-1/5r)
Multiplicando por 1/5,
P(T<=1) =1-e^-1/5

Passo 4

Para calcular a probabilidade de esperar mais de 5 minutos, isto é P(T>5), usamos
P(T>5) =integral5^inftyc,e^-c t,dt =integral5^infty15e^-t/5,dt
Sabemos que para a exponencial
integrala^inftye^-t/5,dt =5,e^-a/5,
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P(T>5) =15times5,e^-5/5 =e^-1

Resposta

(a) P(T<=1)=1-e^-1/5
(b) P(T>5)=e^-1

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