Mostre que existe uma raiz da equação dada abaixo no intervalo especificado.
x^3+3 x^2=1; (0,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^3 + 3x^2 = 1
tem pelo menos uma solução em (0,2). O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário para funções contínuas: se uma função contínua em [a,b] assume valores de sinais opostos em a e b, então ela se anula em algum ponto de (a,b). Vamos usá-lo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^3 + 3x^2 - 1
Como f é polinomial, ela é contínua em todo R, portanto em particular em [0,2].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0) = 0^3 + 3cdot0^2 - 1 = -1,
f(2) = 2^3 + 3cdot2^2 - 1 = 8 + 12 - 1 = 19
Logo f(0) = -1 < 0 e f(2) = 19 > 0.

Passo 4

Como f é contínua em [0,2] e f(0) e f(2) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c in (0,2) tal que
f(c) = 0

Resposta

Está demonstrado que a equação x^3+3x^2=1 possui pelo menos uma raiz no intervalo (0,2).

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