Calcule a integral:
\int \frac{2 \sqrt{x}-5}{2 \sqrt{x}(x+2 \sqrt{x}+5)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 2raizx-52raizx,l(x+2raizx+5r),dx
O conteúdo principal é integração por substituição (para eliminar a raiz) e depois decomposição de fração racional com término em arctan.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx, x = t^2, dx = 2t,dt, raizx=t

Passo 3

Substituindo na integral, o denominador 2raizx(x+2raizx+5) vira 2t,(t^2+2t+5) e ainda multiplica dx=2t,dt. Logo
integral 2raizx-52raizx,(x+2raizx+5),dx = integral 2t-52t,(t^2+2t+5)cdot 2t,dt = integral 2t-5t^2+2t+5,dt

Passo 4

Para facilitar, note que
2t-5t^2+2t+5 = (2t+2)-7t^2+2t+5 = 2t+2t^2+2t+5 ;-; 7,1t^2+2t+5
Assim a integral se separa em duas partes:
integral 2t-5t^2+2t+5,dt = integral 2t+2t^2+2t+5,dt - 7integral 1t^2+2t+5,dt

Passo 5

No primeiro termo use u = t^2+2t+5, então du=(2t+2),dt, dando
integral 2t+2t^2+2t+5,dt = lnl(t^2+2t+5r)
No segundo completamos o quadrado:
t^2+2t+5 = (t+1)^2 + 2^2,
e sabemos que
integral 1(t+1)^2+2^2,dt = 12arctan!l(t+12r)
Portanto
integral 2t-5t^2+2t+5,dt = lnl(t^2+2t+5r) - 7 cdot 12 arctan!l(t+12r) + C

Passo 6

Voltando a x com t=raizx, obtemos
lnl(x + 2raizx +5r) -72arctan!l(raizx+12r) + C

Resposta

boxed lnl(x + 2raizx +5r) - 72,arctan!l(raizx+12r) + C

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