Calcule a integral:
\int \frac{2 \sqrt{x}-5}{2 \sqrt{x}(x+2 \sqrt{x}+5)} d x
\int \frac{2 \sqrt{x}-5}{2 \sqrt{x}(x+2 \sqrt{x}+5)} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo principal é integração por substituição (para eliminar a raiz) e depois decomposição de fração racional com término em arctan.
Passo 2
Fazemos a substituição
Passo 3
Substituindo na integral, o denominador
vira
e ainda multiplica
. Logo
Passo 4
Para facilitar, note que
Assim a integral se separa em duas partes:
Passo 5
No primeiro termo use
, então
, dando
No segundo completamos o quadrado:
e sabemos que
Portanto
Passo 6
Voltando a
com
, obtemos