Mostre que existe x in (pi/2, pi) tal que sen x = x - 1.

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos mostrar que existe um número no intervalo tal que . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função atinge um certo valor dentro de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função para facilitar nossa análise. Vamos chamar essa função de :
Esse ajuste nos ajuda a reescrever a equação original como .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de nas extremidades do intervalo .
Para :
Sabemos que , então:
Portanto, .

Passo 4

Para :
Como :
Portanto, .

Passo 5

Observamos que é positivo e é negativo. Isso indica que a função muda de sinal no intervalo .

Passo 6

Aqui é onde entra o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema afirma que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então ela deve passar pelo valor zero em algum ponto entre esses dois.
Como nossa função é contínua, e vimos que e , podemos concluir que existe pelo menos um valor de no intervalo onde . Ou seja:

Resposta

Existe um número no intervalo que satisfaz .

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