Calcule lim x 0 |3 x-4|-|3 x+4|x e lim x 0 [[x]]x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro é lim x 0 |3 x-4| - |3 x+4|x e o segundo é lim x 0 [[x]]x. Vamos precisar entender um pouco sobre valores absolutos e funções de passo (como a função piso). Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com o primeiro limite: lim x 0 |3x - 4| - |3x + 4|x. Aqui, temos expressões com valores absolutos. Sabemos que |a| é o valor absoluto de a, que é sempre positivo.

Passo 3

Para resolver isso, vamos analisar o que acontece quando x se aproxima de 0. Substituindo x = 0, temos:
|0 - 4| - |0 + 4|0 = 4 - 40 = 00
Isso é uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos simplificar |3x - 4| e |3x + 4|. Quando x é próximo de 0, 3x é pequeno comparado com 4. Então:
  • 3x - 4 é negativo, então |3x - 4| = -(3x - 4) = 4 - 3x
  • 3x + 4 é positivo, então |3x + 4| = 3x + 4

Passo 5

Substituindo na expressão original:
(4 - 3x) - (3x + 4)x = 4 - 3x - 3x - 4x = -6xx

Passo 6

Simplificando -6xx, temos:
-6
Então, o limite é -6.

Passo 7

Agora, vamos para o segundo limite: lim x 0 [[x]]x. Aqui, [[x]] representa a função piso, que dá o maior inteiro menor ou igual a x.

Passo 8

Vamos analisar o comportamento de [[x]] quando x se aproxima de 0. Se x está próximo de 0 pelo lado positivo (por exemplo, x = 0.1), então [[x]] = 0. Se x está próximo de 0 pelo lado negativo (por exemplo, x = -0.1), então [[x]] = -1.

Passo 9

Então, temos duas situações:
  1. Quando x 0^+ (pela direita): 0x = 0
  2. Quando x 0^- (pela esquerda): -1x
No segundo caso, quando x se aproxima de 0 negativamente, -1x tende a +infty.

Passo 10

Como os limites pela direita e pela esquerda não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O primeiro limite é -6 e o segundo limite não existe.

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