Mostre que existem a e b racionais, tais que raiz18-8 raiz2=a+b raiz2.

Passo 1

Enunciado: Precisamos mostrar que existem números racionais a e b tais que
raiz18-8raiz2 = a + braiz2
O conteúdo é manipulação de radicais e equações irracionais; vamos quadrar ambos os lados e igualar partes racionais e irracionais.

Passo 2

Supondo raiz18-8raiz2 = a + braiz2 e elevando ao quadrado, temos
18 - 8raiz2 = (a + braiz2)^2 = a^2 + 2abraiz2 + 2b^2

Passo 3

Igualando a parte racional e a parte com raiz2, obtemos o sistema
a^2 + 2b^2 = 18, 2ab = -8

Passo 4

Da segunda equação vem ab = -4, ou seja a = -4/b. Substituindo na primeira:
l(-4br)^2 + 2b^2 = 18 $$
\frac{16}{b^2} + 2b^2 = 18
$$ 16b^2 + 2b^2 = 18 que fatorando dá 2b^4 - 18b^2 + 16 = 0 . Como b deve ser racional, (b^2 - 1)(b^2 - 8)=0 e então b^2=1.

Passo 5

Para b=1 temos a=-4; para b=-1 vem a=4. A raiz principal é positiva, então escolhemos a=4 e b=-1.

Resposta

Existem a=4 e b=-1 racionais tais que raiz18-8raiz2 = 4 - raiz2.

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