Mostre que existem
e
racionais, tais que
.
Passo 1
Enunciado: Precisamos mostrar que existem números racionais a e b tais que
O conteúdo é manipulação de radicais e equações irracionais; vamos quadrar ambos os lados e igualar partes racionais e irracionais.
Passo 2
Supondo
e elevando ao quadrado, temos
Passo 3
Igualando a parte racional e a parte com
, obtemos o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem
, ou seja
. Substituindo na primeira:
\frac{16}{b^2} + 2b^2 = 18
$$
que fatorando dá
. Como b deve ser racional,
e então
.
Passo 5
Para
temos
; para
vem
. A raiz principal é positiva, então escolhemos
e
.
Resposta
Existem
e
racionais tais que
.