Suponha que
seja o menor fator primo de um inteiro
e que
. Prove que
é primo.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
-
é um inteiro. -
é o menor fator primo de . Isto significa que é primo, e, se é qualquer outro primo com , então . - Há a desigualdade
.
-
-
O que se pede:
- Mostrar que
é primo.
- Mostrar que
Passo 2
Introduzo uma notação curta para simplificar a escrita: seja
Assim o que quero provar fica: provar que
é primo, sabendo que
é o menor fator primo de
e que
Observação: a igualdade
segue diretamente da definição de
.
Passo 3
Vou lembrar e explicar um fato básico e muito usado sobre números compostos (é um lema que vamos usar): se um inteiro
é composto, então ele tem um fator primo menor ou igual a
.
Explicação didática desse fato:
- Se
é composto, existe uma fatoração não-trivial com inteiros tais que . - Então
implica , ou seja, . - Agora, fatorando
em primos (teorema fundamental da aritmética) chega-se a que algum fator primo de também divide ; esse primo é . - Portanto, sempre que
for composto existe um fator primo com .
Este é um resultado simples mas muito útil: “um número composto tem sempre um fator primo não maior que a raiz quadrada dele”.
Passo 4
Argumento por contradição: suponha que
não seja primo, ou seja, suponha que
seja composto.
Pelo lema do passo anterior, como
é composto existe um fator primo
tal que
Passo 5
Agora uso a informação sobre
ser o menor fator primo de
. Como
e
, segue que
é um primo que divide
. Pelo enunciado,
é o menor primo divisor de
, portanto
Juntando isso com a desigualdade do passo 4 obtém-se
Passo 6
Mas o enunciado nos dá a desigualdade
As duas afirmações juntas
são contraditórias. Essa contradição vem da hipótese de que
é composto.
Passo 7
Portanto a hipótese de que
é composto é impossível; a única alternativa é que
seja primo. Concluímos que