Suponha que p seja o menor fator primo de um inteiro n e que p>\sqrt{n / p}. Prove que n / p é primo.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • n é um inteiro.
    • p é o menor fator primo de n. Isto significa que p é primo, p\mid n e, se q é qualquer outro primo com q\mid n, então q\ge p.
    • Há a desigualdade p>\sqrt{\,n/p\,}.
  • O que se pede:
    • Mostrar que n/p é primo.

Passo 2

Introduzo uma notação curta para simplificar a escrita: seja
q=\frac{n}{p}.
Assim o que quero provar fica: provar que q é primo, sabendo que p é o menor fator primo de n e que
p>\sqrt{q}.
Observação: a igualdade n=pq segue diretamente da definição de q.

Passo 3

Vou lembrar e explicar um fato básico e muito usado sobre números compostos (é um lema que vamos usar): se um inteiro m>1 é composto, então ele tem um fator primo menor ou igual a \sqrt{m}.
Explicação didática desse fato:
  • Se m é composto, existe uma fatoração não-trivial m=ab com inteiros a,b tais que 1<a\le b<m.
  • Então a\le b implica a^2\le ab=m, ou seja, a\le\sqrt{m}.
  • Agora, fatorando a em primos (teorema fundamental da aritmética) chega-se a que algum fator primo de a também divide m; esse primo é \le a\le\sqrt{m}.
  • Portanto, sempre que m for composto existe um fator primo r com r\le\sqrt{m}.
Este é um resultado simples mas muito útil: “um número composto tem sempre um fator primo não maior que a raiz quadrada dele”.

Passo 4

Argumento por contradição: suponha que q não seja primo, ou seja, suponha que q seja composto.
Pelo lema do passo anterior, como q é composto existe um fator primo r tal que
r\le\sqrt{q}.

Passo 5

Agora uso a informação sobre p ser o menor fator primo de n. Como n=pq e r\mid q, segue que r é um primo que divide n. Pelo enunciado, p é o menor primo divisor de n, portanto
r\ge p.
Juntando isso com a desigualdade do passo 4 obtém-se
p\le r\le\sqrt{q}.

Passo 6

Mas o enunciado nos dá a desigualdade
p>\sqrt{q}.
As duas afirmações juntas
p\le\sqrt{q}\qquad\text{e}\qquad p>\sqrt{q}
são contraditórias. Essa contradição vem da hipótese de que q é composto.

Passo 7

Portanto a hipótese de que q é composto é impossível; a única alternativa é que q seja primo. Concluímos que
\frac{n}{p}=q\\ \text{é primo.}é

Resposta

n/p é primo.

Exercícios relacionados