Se
denota o
-ésimo primo, então prove que não existe
tal que
Dica: considere os restos obtidos ao dividir por 4 os lados esquerdo e direito da igualdade acima.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
onde
denota o
-ésimo primo e pede para provar que não existe
que satisfaça essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
-
são primos. Em particular e os demais primos (se existirem) são ímpares. - A incógnita
é exigida ser um inteiro: . - A dica sugere considerar restos ao dividir por
(ou seja, trabalhar em aritmética modular mod ).
Passo 2
Vamos entender propriedades simples de números inteiros mod
que vamos usar. Primeiro, qualquer inteiro
é par ou ímpar. Mostro como o quadrado de
se comporta mod
.
Se
é par, então
para algum
. Então
Se
é ímpar, então
para algum
. Então
Portanto, qualquer quadrado inteiro satisfaz
Dou um exemplo rápido para fixar:
e
.
Passo 3
Agora examinamos o lado esquerdo
modulo
. Observe que
(o primeiro primo) e, para
, cada
é primo ímpar. Portanto a produto
é igual a
multiplicado por um número ímpar (produto dos primos ímpares). Então o produto é um número par que é precisamente
.
Vou ver qual é o resto desse produto ao dividir por
. Seja
o produto dos primos ímpares:
Note que
é ímpar, logo
. Mas em módulo
um número ímpar pode ser
ou
. Seja qual for o caso, multiplicando por
obtemos
Logo, independentemente de
ser
ou
, tem-se
Passo 4
Adicionando
ao produto, obtemos
Portanto o lado esquerdo da igualdade dada é congruente a
módulo
.
Passo 5
Mas do Passo 2 sabemos que todo quadrado inteiro
é congruente a
ou
módulo
. Isso significa que não existe inteiro
tal que
Como o lado esquerdo
é congruente a
, ele não pode ser igual a um quadrado inteiro.
Passo 6
Concluímos que a igualdade
não pode ocorrer para nenhum
. Intuitivamente: o produto dos primeiros
primos é sempre congruente a
(porque inclui o
), e somando
obtemos algo congruente a
, e nenhum quadrado inteiro é congruente a
.
Resposta
Não existe
tal que
.