Se p_{n} denota o n-ésimo primo, então prove que não existe x \in \mathbb{Z} tal que
p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1=x^{2} .
Dica: considere os restos obtidos ao dividir por 4 os lados esquerdo e direito da igualdade acima.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1 = x^{2}
onde p_{n} denota o n-ésimo primo e pede para provar que não existe x\in\mathbb{Z} que satisfaça essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • p_{1},p_{2},\dots,p_{n} são primos. Em particular p_{1}=2 e os demais primos (se existirem) são ímpares.
  • A incógnita x é exigida ser um inteiro: x\in\mathbb{Z}.
  • A dica sugere considerar restos ao dividir por 4 (ou seja, trabalhar em aritmética modular mod 4).

Passo 2

Vamos entender propriedades simples de números inteiros mod 4 que vamos usar. Primeiro, qualquer inteiro x é par ou ímpar. Mostro como o quadrado de x se comporta mod 4.
Se x é par, então x=2k para algum k\in\mathbb{Z}. Então
x^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}\equiv 0 \pmod{4}.
Se x é ímpar, então x=2k+1 para algum k\in\mathbb{Z}. Então
x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1=4k(k+1)+1\equiv 1 \pmod{4}.
Portanto, qualquer quadrado inteiro satisfaz
x^{2}\equiv 0 \text{ ou } 1 \pmod{4}.
Dou um exemplo rápido para fixar: 3^{2}=9\equiv1\pmod{4} e 4^{2}=16\equiv0\pmod{4}.

Passo 3

Agora examinamos o lado esquerdo \,p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1 modulo 4. Observe que p_{1}=2 (o primeiro primo) e, para k\ge2, cada p_{k} é primo ímpar. Portanto a produto
p_{1}p_{2}\cdots p_{n}
é igual a 2 multiplicado por um número ímpar (produto dos primos ímpares). Então o produto é um número par que é precisamente 2\times(\text{ímpar})í.
Vou ver qual é o resto desse produto ao dividir por 4. Seja m o produto dos primos ímpares:
m = p_{2}p_{3}\cdots p_{n}.
Note que m é ímpar, logo m\equiv 1\pmod{2}. Mas em módulo 4 um número ímpar pode ser 1 ou 3. Seja qual for o caso, multiplicando por 2 obtemos
2\cdot 1 \equiv 2 \pmod{4}\quad\text{ou}\quad 2\cdot 3 \equiv 6\equiv 2 \pmod{4}.
Logo, independentemente de m ser \equiv1 ou \equiv3\pmod{4}, tem-se
p_{1}p_{2}\cdots p_{n} \equiv 2 \pmod{4}.

Passo 4

Adicionando 1 ao produto, obtemos
p_{1}p_{2}\cdots p_{n} + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \pmod{4}.
Portanto o lado esquerdo da igualdade dada é congruente a 3 módulo 4.

Passo 5

Mas do Passo 2 sabemos que todo quadrado inteiro x^{2} é congruente a 0 ou 1 módulo 4. Isso significa que não existe inteiro x tal que
x^{2}\equiv 3 \pmod{4}.
Como o lado esquerdo p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1 é congruente a 3\pmod{4}, ele não pode ser igual a um quadrado inteiro.

Passo 6

Concluímos que a igualdade
p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1 = x^{2}
não pode ocorrer para nenhum x\in\mathbb{Z}. Intuitivamente: o produto dos primeiros n primos é sempre congruente a 2\pmod{4} (porque inclui o 2), e somando 1 obtemos algo congruente a 3\pmod{4}, e nenhum quadrado inteiro é congruente a 3\pmod{4}.

Resposta

Não existe x\in\mathbb{Z} tal que p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1=x^{2}.

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