Mostre que existem números irracionais
e
tais que
é racional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a existência de números irracionais
e
tais que o produto
seja um número racional. O conteúdo envolvido é teoria de números reais e a definição de número irracional (número que não pode ser expresso como razão de dois inteiros). A estratégia é dar um exemplo concreto de dois irracionais cujo produto resulte em um racional.
Passo 2
Vamos usar o fato clássico de que
é irracional. A prova por contradição é rápida: suponha que
com
inteiros primos entre si. Então
implica
ou seja,
é par, logo
é par. Escreva
; daí
logo
também é par. Isso contradiz o fato de
e
serem primos entre si. Portanto,
é irracional.
Passo 3
Escolha
Ambos são irracionais, como acabamos de ver. Então o produto é
que é um número racional.
Resposta
Basta tomar
, pois são irracionais e
é racional.