Mostre que existem números irracionais x e y tais que x y é racional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a existência de números irracionais x e y tais que o produto xy seja um número racional. O conteúdo envolvido é teoria de números reais e a definição de número irracional (número que não pode ser expresso como razão de dois inteiros). A estratégia é dar um exemplo concreto de dois irracionais cujo produto resulte em um racional.

Passo 2

Vamos usar o fato clássico de que \sqrt{2} é irracional. A prova por contradição é rápida: suponha que \sqrt{2}=\tfrac{a}{b} com a,b inteiros primos entre si. Então
2=\frac{a^2}{b^2}
implica
a^2=2b^2,
ou seja, a^2 é par, logo a é par. Escreva a=2k; daí
(2k)^2=2b^2\quad\Longrightarrow\quad 4k^2=2b^2\quad\Longrightarrow\quad b^2=2k^2,
logo b também é par. Isso contradiz o fato de a e b serem primos entre si. Portanto, \sqrt{2} é irracional.

Passo 3

Escolha
x=\sqrt{2}, \quad y=\sqrt{2}.
Ambos são irracionais, como acabamos de ver. Então o produto é
xy = \sqrt{2}\,\sqrt{2} = 2,
que é um número racional.

Resposta

Basta tomar x=y=\sqrt{2}, pois são irracionais e xy=2 é racional.

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