Dados inteiros a e b, prove que se a e b tem a mesma paridade (ou os dois são pares, ou os dois são ímpares), então
é par.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
com a mesma paridade (isto é, ou ambos pares ou ambos ímpares), o número
é par. Para isso, vamos usar a definição de paridade: um inteiro
é par se existir
tal que
, e é ímpar se existir
tal que
. Faremos prova por análise de casos (ambos pares ou ambos ímpares).
Passo 2
Caso 1:
e
são ambos pares.
Então existem tais que
Então existem
Elevando ao quadrado,
Logo
que é claramente divisível por
, portanto é par.
Passo 3
Caso 2:
e
são ambos ímpares.
Então existem tais que
Então existem
Elevando ao quadrado,
Somando,
Como
é múltiplo de
e
também é múltiplo de
, a soma é múltiplo de
. Logo
é par.
Resposta
Como em ambos os casos
é múltiplo de
, concluímos que se
e
têm a mesma paridade então
é par.