Dados inteiros a e b, prove que se a e b tem a mesma paridade (ou os dois são pares, ou os dois são ímpares), então a^{2}+b^{2} é par.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b\in\mathbb{Z} com a mesma paridade (isto é, ou ambos pares ou ambos ímpares), o número
a^{2}+b^{2}
é par. Para isso, vamos usar a definição de paridade: um inteiro n é par se existir k\in\mathbb{Z} tal que n=2k, e é ímpar se existir k\in\mathbb{Z} tal que n=2k+1. Faremos prova por análise de casos (ambos pares ou ambos ímpares).

Passo 2

Caso 1: a e b são ambos pares.
Então existem k,\ell\in\mathbb{Z} tais que
a = 2k, \quad b = 2\ell.
Elevando ao quadrado,
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2}, \quad b^{2} = (2\ell)^{2} = 4\ell^{2}.
Logo
a^{2} + b^{2} = 4k^{2} + 4\ell^{2} = 4\bigl(k^{2} + \ell^{2}\bigr),
que é claramente divisível por 2, portanto é par.

Passo 3

Caso 2: a e b são ambos ímpares.
Então existem k,\ell\in\mathbb{Z} tais que
a = 2k + 1, \quad b = 2\ell + 1.
Elevando ao quadrado,
a^{2} = (2k+1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1, \quad b^{2} = (2\ell+1)^{2} = 4\ell^{2} + 4\ell + 1.
Somando,
a^{2} + b^{2} = (4k^{2} + 4k + 1) + (4\ell^{2} + 4\ell + 1) = 4\bigl(k^{2}+k+\ell^{2}+\ell\bigr) + 2.
Como 4(\cdots) é múltiplo de 2 e 2 também é múltiplo de 2, a soma é múltiplo de 2. Logo a^{2}+b^{2} é par.

Resposta

Como em ambos os casos a^{2}+b^{2} é múltiplo de 2, concluímos que se a e b têm a mesma paridade então a^{2}+b^{2} é par.

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