Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, vale
Para isso, usaremos a definição de valor absoluto e divisão em casos.
Passo 2
Prova de
Caso
, logo
. Como
e
, segue
, isto é,
. Assim
.
Caso
: então
, o que equivale a
. Além disso,
implica
. Logo também
.
Em ambos os casos obtemos .
Em ambos os casos obtemos
Passo 3
Prova de
. Novamente dividimos em casos.
Caso : vale
e da hipótese
segue diretamente
.
Caso : vale
. Da desigualdade
multiplicamos por
(inverte o sentido) e obtém-se
, isto é,
.
Caso
Caso
Resposta
Como mostramos as duas implicações, concluímos que