Prove que |x|<a se, e somente se, -a<x<a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a>0 e x\in\mathbb{R}, vale
|x|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a<x<a.
Para isso, usaremos a definição de valor absoluto e divisão em casos.

Passo 2

Prova de \,|x|<a\implies -a<x<a\). Pela definição, \[|x| = \begin{cases} x & \text{se } x\ge0,\\\\ -x & \text{se } x<0. \end{cases}
Caso x\ge0\]: então \(|x|=x< a, logo x<a. Como x\ge0 e a>0, segue -a<0\le x, isto é, -a<x. Assim -a<x<a.
Caso x<0: então |x|=-x< a, o que equivale a x>-a. Além disso, x<0<a implica x<a. Logo também -a<x<a.
Em ambos os casos obtemos -a<x<a.

Passo 3

Prova de \,-a<x<a\implies |x|<a. Novamente dividimos em casos.
Caso x\ge0: vale |x|=x e da hipótese x<a segue diretamente |x|<a.
Caso x<0: vale |x|=-x. Da desigualdade -a<x multiplicamos por -1 (inverte o sentido) e obtém-se -x<a, isto é, |x|<a.

Resposta

Como mostramos as duas implicações, concluímos que
|x|<a\quad\Longleftrightarrow\quad -a<x<a.

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