Mostre explicitamente (ou argumente) que r(t) times a(t)=0 para todo tempo t para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para mostrar que, no movimento circular uniforme, o produto vetorial entre o vetor posição r(t) e a aceleração a(t) é sempre zero. Isso envolve conceitos de cinemática e álgebra vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é movimento circular uniforme, como identificar os vetores posição e aceleração nesse contexto, e como calcular o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é movimento circular uniforme. É quando um objeto se move em uma trajetória circular com velocidade constante. Apesar da velocidade ser constante, há uma aceleração centrípeta que mantém o objeto na trajetória circular. Essa aceleração aponta sempre para o centro do círculo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores envolvidos. O vetor posição r(t) aponta do centro do círculo até a posição do objeto em qualquer instante t. A aceleração a(t), como mencionei, é a aceleração centrípeta, que também aponta para o centro do círculo. Portanto, a(t) é colinear com r(t), ou seja, eles estão na mesma linha, mas em direções opostas.

Passo 4

Vamos recordar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. O produto vetorial A times B resulta em um vetor que é perpendicular aos vetores A e B e cujo módulo é dado por:
|A times B| = |A| cdot |B| cdot sin(theta)
onde theta é o ângulo entre A e B.

Passo 5

No nosso caso, como a(t) é colinear com r(t), o ângulo theta entre eles é 0 ou 180 graus. Sabemos que sin(0) = 0 e sin(180) = 0. Portanto:
|r(t) times a(t)| = |r(t)| cdot |a(t)| cdot sin(theta) = 0

Passo 6

Isso significa que o produto vetorial entre r(t) e a(t) é o vetor nulo, ou seja, é igual a zero para qualquer instante t no movimento circular uniforme.

Resposta

Para o movimento circular uniforme, temos que r(t) times a(t) = 0 para todo tempo t.

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