Mostre que |v(t)| é constante para o movimento circular uniforme.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a norma do vetor velocidade, |v(t)|, permanece constante durante um movimento circular uniforme. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento circular e propriedades dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um movimento circular uniforme. Esse tipo de movimento acontece quando um objeto se desloca ao longo de um círculo com velocidade constante. Embora a velocidade seja constante, a aceleração não é, porque a direção da velocidade muda continuamente.

Passo 3

A velocidade vetorial v(t) em um movimento circular uniforme tem direção sempre tangente à trajetória. Vamos expressar a posição do objeto no tempo t como:
r(t) = R cos(omega t) , i + R sin(omega t) , j
onde:
  • R é o raio do círculo,
  • omega é a velocidade angular,
  • i e j são os vetores unitários nas direções x e y.

Passo 4

Para encontrar a velocidade v(t), derivamos a posição em relação ao tempo:
v(t) = dr(t)dt = -R omega sin(omega t) , i + R omega cos(omega t) , j

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, |v(t)|. A magnitude de um vetor v = vx , i + vy , j é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso à nossa expressão para v(t):
|v(t)| = raiz(-R omega sin(omega t))^2 + (R omega cos(omega t))^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
|v(t)| = raizR^2 omega^2 sin^2(omega t) + R^2 omega^2 cos^2(omega t) = raizR^2 omega^2 (sin^2(omega t) + cos^2(omega t))

Passo 7

Sabemos que sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1. Então:
|v(t)| = raizR^2 omega^2 cdot 1 = raizR^2 omega^2 = R omega

Resposta

A magnitude da velocidade, |v(t)|, é constante e igual a R omega durante o movimento circular uniforme.

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