Mostre explicitamente que um orbital
de um átomo de hidrogênio e um orbital
de um outro átomo de hidrogênio têm superposição zero.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se mostrar que a “superposição” — isto é, o integral de sobreposição (overlap integral) — entre um orbital
de hidrogênio e um orbital de hidrogênio é zero. - Vamos trabalhar com os orbitais atômicos centrados no mesmo núcleo (origem). Pegamos as formas padrão e normalizadas:
- Orbital
(função de onda):
onde é o raio de Bohr e . - Orbital
(função de onda escrita em separação radial-angular):
com a parte radial e a parte angular (harmônica real associada a ) - Orbital
- O objetivo é calcular (e mostrar que vale zero) o integral de sobreposição
Passo 2
Escrevendo o integral de sobreposição em coordenadas esféricas e lembrando que as funções acima são reais (logo conjugado não altera):
Aqui usamos o elemento de volume em coordenadas esféricas
.
Passo 3
Substituímos as expressões de
e
dentro do integral. Agrupamos os fatores que dependem somente de
e os que dependem apenas de
:
Isso é possível porque
depende só de
e
separa em produto radial
angular.
Passo 4
Calculemos a parte angular (essa vai zerar o integral). Primeiro, note que
é a parte angular do
, então o produto angular efetivamente é
. Vamos calcular
Substituindo
e
obtemos
O fator
(porque o cosseno tem áreas positivas e negativas que se cancelam sobre um período completo). Portanto
Passo 5
Como a parte angular
é zero, o produto radial multiplicado por
também é zero, independentemente do valor do integral radial. Logo
Passo 6
Comentário didático (intuição e propriedades gerais):
- A razão do cancelamento é simétrica: o orbital
tem simetria esférica (paridade par) e a parte angular do é proporcional a e muda de sinal ao percorrer de a , gerando integral nula. Em termos gerais de harmônicas esféricas vale a ortogonalidade
portanto
é ortogonal a qualquer
, implicando sobreposição zero entre orbitais com diferentes
centrados no mesmo núcleo.
- Alternativa rápida (paridade):
é função par ( ), enquanto é ímpar em ( ). O produto par×ímpar é ímpar e integra-se para zero sobre todo o espaço simétrico.