Com boa aproximação, o espectro de micro-ondas do
consiste em uma série de linhas igualmente espaçadas, separadas por
. Calcule o comprimento de ligação do
.
Passo 1
O enunciado nos dá que o espectro micro-ondas do
apresenta uma série de linhas igualmente espaçadas, com espaçamento entre linhas igual a
. A tarefa é calcular o comprimento de ligação (distância internuclear) do
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Nenhuma outra informação é dada explicitamente, portanto usaremos o modelo de rotor rígido e as massas isotópicas conhecidas para
e
.
Passo 2
Breve aula: modelo de rotor rígido e espaçamento das linhas.
Para um rotor rígido (molécula diatômica), os níveis de energia rotacional são
Para um rotor rígido (molécula diatômica), os níveis de energia rotacional são
onde
é o número quântico rotacional,
é o momento de inércia da molécula e
é a constante de Planck reduzida. A frequência da transição
é
Daí as linhas aparecem em posições proporcionais a
e, portanto, igualmente espaçadas. A diferença entre duas linhas consecutivas (o espaçamento observado) é independente de
e vale
(Nesta fórmula
é a constante de Planck; derivação mostrada acima usa
.)
Passo 3
Isolando
a partir de
:
Agora vamos calcular numericamente
usando
e
.
Passo 4
Cálculo numérico de
:
Primeiro calcule o denominador:
.
Logo
Logo
Passo 5
Relação entre momento de inércia e comprimento de ligação.
Para uma molécula diatômica aproximada por rotor rígido, o momento de inércia é
Para uma molécula diatômica aproximada por rotor rígido, o momento de inércia é
onde
é a massa reduzida e
é o comprimento de ligação que queremos. A massa reduzida é
Passo 6
Vamos calcular
usando massas atômicas (em unidades de massa atômica
e convertendo para kg). Usamos
e
. Portanto
Agora a massa reduzida:
Calcule o numerador:
. Soma do denominador:
. Assim
Passo 7
Agora isolamos
em
:
Substituindo
e
,
Convertendo para ångström (
), obtemos
.
Passo 8
Comentário final e checagem rápida: o resultado
é compatível com o valor conhecido do comprimento de ligação da molécula de HCl (aproximadamente
), então nossa conta bate bem com a física e a precisão dos valores usados. Força aí — deu certo!