Com boa aproximação, o espectro de micro-ondas do \mathrm{H}^{35} \mathrm{Cl} consiste em uma série de linhas igualmente espaçadas, separadas por 6.26 \times 10^{11} \mathrm{~Hz}. Calcule o comprimento de ligação do \mathrm{H}^{35} \mathrm{Cl}.

Passo 1

O enunciado nos dá que o espectro micro-ondas do \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl} apresenta uma série de linhas igualmente espaçadas, com espaçamento entre linhas igual a \Delta \nu = 6{,}26\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}. A tarefa é calcular o comprimento de ligação (distância internuclear) do \mathrm{H}^{35}\mathrm{Cl}.
Informações relevantes fornecidas:
\Delta \nu = 6{,}26\times10^{11}\\ \mathrm{Hz}.
Nenhuma outra informação é dada explicitamente, portanto usaremos o modelo de rotor rígido e as massas isotópicas conhecidas para {}^1\mathrm{H} e {}^{35}\mathrm{Cl}.

Passo 2

Breve aula: modelo de rotor rígido e espaçamento das linhas.
Para um rotor rígido (molécula diatômica), os níveis de energia rotacional são
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1),
onde J=0,1,2,\dots é o número quântico rotacional, I é o momento de inércia da molécula e \hbar é a constante de Planck reduzida. A frequência da transição J\to J+1 é
\nu_J=\frac{E_{J+1}-E_J}{h}=\frac{\hbar^2}{Ih}\,(J+1).
Daí as linhas aparecem em posições proporcionais a J+1 e, portanto, igualmente espaçadas. A diferença entre duas linhas consecutivas (o espaçamento observado) é independente de J e vale
\Delta \nu = \nu_{J+1}-\nu_J = \frac{h}{4\pi^2 I}.
(Nesta fórmula h é a constante de Planck; derivação mostrada acima usa \hbar=h/(2\pi).)

Passo 3

Isolando I a partir de \Delta \nu:
I=\frac{h}{4\pi^2\,\Delta \nu}.
Agora vamos calcular numericamente I usando \Delta \nu = 6{,}26\times10^{11}\\ \mathrm{Hz} e h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.

Passo 4

Cálculo numérico de I:
I=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{4\pi^2\,(6{,}26\times10^{11})}.
Primeiro calcule o denominador: 4\pi^2\,(6{,}26\times10^{11})\approx 39{,}4784176\times6{,}26\times10^{11}\approx 2{,}47162\times10^{13}.
Logo
I\approx \frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{2{,}47162\times10^{13}} \approx 2{,}680\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 5

Relação entre momento de inércia e comprimento de ligação.
Para uma molécula diatômica aproximada por rotor rígido, o momento de inércia é
I=\mu r^2,
onde \mu é a massa reduzida e r é o comprimento de ligação que queremos. A massa reduzida é
\mu=\frac{m_{\mathrm{H}}\,m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{Cl}}}.

Passo 6

Vamos calcular \mu usando massas atômicas (em unidades de massa atômica u e convertendo para kg). Usamos
m_{\mathrm{H}}=1{,}007825\;u,\qquad m_{{}^{35}\mathrm{Cl}}=34{,}968852\;u,
e 1\;u=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}. Portanto
m_{\mathrm{H}}=1{,}007825\times1{,}66053906660\times10^{-27}\approx 1{,}67353\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
m_{\mathrm{Cl}}=34{,}968852\times1{,}66053906660\times10^{-27}\approx 5{,}80680\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Agora a massa reduzida:
\mu=\frac{(1{,}67353\times10^{-27})(5{,}80680\times10^{-26})}{1{,}67353\times10^{-27}+5{,}80680\times10^{-26}}.
Calcule o numerador: (1{,}67353\times10^{-27})(5{,}80680\times10^{-26})\approx 9{,}7186\times10^{-53}. Soma do denominador: \approx 5{,}97415\times10^{-26}. Assim
\mu\approx \frac{9{,}7186\times10^{-53}}{5{,}97415\times10^{-26}}\approx 1{,}6263\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Agora isolamos r em I=\mu r^2:
r=\sqrt{\frac{I}{\mu}}.
Substituindo I\approx 2{,}680\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\cdot m^2} e \mu\approx 1{,}6263\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
r\approx \sqrt{\frac{2{,}680\times10^{-47}}{1{,}6263\times10^{-27}}} =\sqrt{1{,}648\times10^{-20}}\approx 1{,}283\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para ångström ( 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}), obtemos r\approx 1{,}283\\ \text{\AA}.

Passo 8

Comentário final e checagem rápida: o resultado \sim1{,}28\times10^{-10}\\ \mathrm{m} é compatível com o valor conhecido do comprimento de ligação da molécula de HCl (aproximadamente 1{,}27\times10^{-10}\\ \mathrm{m}), então nossa conta bate bem com a física e a precisão dos valores usados. Força aí — deu certo!

Resposta

r = 1{,}28\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 1{,}28\\ \text{\AA}

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