Mostre explicitamente a validade do teorema de Poynting para ondas planas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas. Isso envolve a matéria de eletromagnetismo, especificamente sobre como energia se propaga nas ondas eletromagnéticas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Poynting, o que são ondas planas e como aplicar as equações de Maxwell nessas ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Poynting. Esse teorema descreve como a energia eletromagnética se move através de uma área, e é dado por:
partial upartial t + nabla cdot S = -J cdot E
Aqui, u é a densidade de energia eletromagnética, S é o vetor de Poynting, J é a densidade de corrente elétrica e E é o campo elétrico.

Passo 3

Para ondas planas, vamos considerar uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, então não tem corrente elétrica ( J = 0) e as equações de Maxwell ficam mais simples. As ondas planas têm campos elétrico e magnético que oscilam perpendicularmente entre si e à direção de propagação.

Passo 4

A densidade de energia u para campos elétrico e magnético é dada por:
u = 12 epsilon0 E^2 + 12 B^2mu0
No vácuo, epsilon0 é a permissividade do vácuo e mu0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 5

O vetor de Poynting S é definido como:
S = 1mu0 E times B
Esse vetor representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada temporal da densidade de energia u:
partial upartial t = epsilon0 E cdot partial Epartial t + 1mu0 B cdot partial Bpartial t

Passo 7

Para ondas planas no vácuo, sabemos que partial Epartial t e partial Bpartial t podem ser relacionados pelas equações de Maxwell:
partial Epartial t = c^2 nabla times B e partial Bpartial t = -nabla times E
Onde c = 1raizepsilon0 mu0 é a velocidade da luz no vácuo.

Passo 8

Substituindo essas relações na derivada de u:
partial upartial t = epsilon0 E cdot (c^2 nabla times B) + 1mu0 B cdot (-nabla times E)

Passo 9

Simplificando, lembrando que c^2 = 1epsilon0 mu0:
partial upartial t = 1mu0 E cdot (nabla times B) - 1mu0 B cdot (nabla times E)

Passo 10

Usando a identidade vetorial:
E cdot (nabla times B) - B cdot (nabla times E) = nabla cdot (E times B)
Então, temos:
partial upartial t = 1mu0 nabla cdot (E times B) = nabla cdot S

Passo 11

Finalmente, substituindo na equação do Teorema de Poynting:
partial upartial t + nabla cdot S = 0
Como J = 0 no vácuo, isso confirma que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas.

Resposta

Assim, demonstramos que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas, confirmando que a conservação de energia eletromagnética se mantém nesse contexto.

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