Mostre explicitamente a validade do teorema de Poynting para ondas planas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas. Isso envolve a matéria de eletromagnetismo, especificamente sobre como energia se propaga nas ondas eletromagnéticas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que é o Teorema de Poynting, o que são ondas planas e como aplicar as equações de Maxwell nessas ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Poynting. Esse teorema descreve como a energia eletromagnética se move através de uma área, e é dado por:
Aqui,
é a densidade de energia eletromagnética,
é o vetor de Poynting,
é a densidade de corrente elétrica e
é o campo elétrico.
Passo 3
Para ondas planas, vamos considerar uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, então não tem corrente elétrica (
) e as equações de Maxwell ficam mais simples. As ondas planas têm campos elétrico e magnético que oscilam perpendicularmente entre si e à direção de propagação.
Passo 4
A densidade de energia
para campos elétrico e magnético é dada por:
No vácuo,
é a permissividade do vácuo e
é a permeabilidade do vácuo.
Passo 5
O vetor de Poynting
é definido como:
Esse vetor representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada temporal da densidade de energia
:
Passo 7
Para ondas planas no vácuo, sabemos que
e
podem ser relacionados pelas equações de Maxwell:
Onde
é a velocidade da luz no vácuo.
Passo 8
Substituindo essas relações na derivada de
:
Passo 9
Simplificando, lembrando que
:
Passo 10
Usando a identidade vetorial:
Então, temos:
Passo 11
Finalmente, substituindo na equação do Teorema de Poynting:
Como
no vácuo, isso confirma que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas.
Resposta
Assim, demonstramos que o Teorema de Poynting é válido para ondas planas, confirmando que a conservação de energia eletromagnética se mantém nesse contexto.