O problema de valor inicial admite as duas soluções e . Este resultado viola o Teorema 3.1?
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial e diz que ele admite duas soluções: a trivial e . O tema aqui é existência e unicidade de soluções de EDO de primeira ordem, e vamos usar o Teorema 3.1 (teorema de existência e unicidade sob condições de continuidade e Lipschitz).
Passo 2
O Teorema 3.1 afirma, de forma simplificada, que se e são contínuas num retângulo que contenha , então o PVI tem solução local única.
Passo 3
Aqui é contínua em , mas seu derivado em relação a apresenta singularidade em . De fato, para e temos:
Passo 4
Como 1raiz|y| diverge quando yto0, o termo partial f/partial y não é contínuo em y=0. Logo, a condição de Lipschitz local (ou de continuação de partial f/partial y) falha.
Passo 5
Portanto, o Teorema 3.1 não se aplica ao redor de (0,0), e por isso não há violação quando aparecem duas soluções.
Resposta
Não viola o Teorema 3.1, pois partial f/partial y não é contínua em y=0, falhando a condição de unicidade.