O problema de valor inicial y^prime=2 raiz|y| ; y(0)=0 admite as duas soluções y=x|x| e y equiv 0. Este resultado viola o Teorema 3.1?

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial y'=2raiz|y|,;y(0)=0 e diz que ele admite duas soluções: a trivial yequiv0 e y=x|x|. O tema aqui é existência e unicidade de soluções de EDO de primeira ordem, e vamos usar o Teorema 3.1 (teorema de existência e unicidade sob condições de continuidade e Lipschitz).

Passo 2

O Teorema 3.1 afirma, de forma simplificada, que se f(t,y) e partial f/partial y são contínuas num retângulo que contenha (t0,y0), então o PVI y'=f(t,y),;y(t0)=y0 tem solução local única.

Passo 3

Aqui f(t,y)=2raiz|y| é contínua em y=0, mas seu derivado em relação a y apresenta singularidade em y=0. De fato, para y>0 e y<0 temos:
f(y)=2raiz|y|, partial fpartial y(y)=1raizy,&y>0,[6pt]-1raiz-y,&y<0

Passo 4

Como 1raiz|y| diverge quando yto0, o termo partial f/partial y não é contínuo em y=0. Logo, a condição de Lipschitz local (ou de continuação de partial f/partial y) falha.

Passo 5

Portanto, o Teorema 3.1 não se aplica ao redor de (0,0), e por isso não há violação quando aparecem duas soluções.

Resposta

Não viola o Teorema 3.1, pois partial f/partial y não é contínua em y=0, falhando a condição de unicidade.

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