1. Resolva o sistema linear \left\{\begin{array}{rll}v+3 w-2 x & = & 0 \\\\ 2 u+v-4 w+3 x & = & 0 \\\\ 2 u+3 v+2 w-x & = & 0 \\\\ -4 u-3 v+5 w-4 x & = & 0\end{array}\right..
  2. Dado o sistema linear
\left\{\begin{array}{rl} -x+2 y+k z & =1 \\\ k x+4 y-4 z & =2 \\\\ 2 x+y+z & =-2 k \end{array},\right.
determine os valores de k (se existir) para que este sistema seja
(a) possível determinado;
(b) possível indeterminado;
(c) impossível.

Passo 1

O primeiro sistema é homogêneo em (u,v,w,x):
\begin{cases} v + 3w - 2x = 0,\\\\ 2u + v - 4w + 3x = 0,\\\\ 2u + 3v + 2w - x = 0,\\\\ -4u - 3v + 5w - 4x = 0.
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares homogêneos por eliminação de Gauss, encontrando o espaço nulo da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Da primeira equação isolamos
v = -3w + 2x.
Substituindo em 2u + v - 4w + 3x = 0 obtemos
2u + (-3w+2x) -4w + 3x = 0 \;\Longrightarrow\; 2u -7w +5x = 0 \;\Longrightarrow\; u = \frac{7w -5x}{2}.
Verificamos que as duas últimas equações ficam identicamente satisfeitas pelas mesmas expressões de u e v, ou seja, são redundantes. Logo só há duas condições independentes para quatro incógnitas, restando 4-2=2 graus de liberdade.

Passo 3

Tomando parâmetros livres w e x, a solução geral é
(u,v,w,x) = \Bigl(\tfrac{7w-5x}{2},\,-3w+2x,\,w,\,x\Bigr) = w\Bigl(\tfrac72,-3,1,0\Bigr)+x\Bigl(-\tfrac52,2,0,1\Bigr).

Passo 4

O segundo sistema depende do parâmetro k:
\begin{cases} -x + 2y + k\,z = 1,\\\ k\,x + 4y -4z = 2,\\\\ 2x + y + z = -2k. \end{cases}
Para analisar possibilidade e determinação usamos o determinante da matriz dos coeficientes e depois checamos consistência quando esse determinante se anula.

Passo 5

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & k\\\ k & 4 & -4\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando \det A por expansão na primeira linha,
\det A = -1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}k & -4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}k & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = k^2 -10k -24.
As raízes são k=12 e k=-2.

Passo 6

Para k\neq12 e k\neq -2 temos \det A\neq0, logo o sistema é possível determinado (tem solução única).

Passo 7

Quando k=12, \det A=0 e, ao tentar resolver, obtemos contradição (os três equações não são compatíveis), logo o sistema é impossível.

Passo 8

Quando k=-2, \det A=0 mas as equações se reduzem a duas independentes e são consistentes, resultando em infinitas soluções. Portanto o sistema é possível indeterminado.

Resposta

  1. A solução geral do sistema homogêneo é
(u,v,w,x) = w\Bigl(\tfrac72,-3,1,0\Bigr)+x\Bigl(-\tfrac52,2,0,1\Bigr).
  1. Para o sistema com parâmetro k:
    (a) possível determinado se k\neq12 e k\neq -2.
    (b) possível indeterminado se k=-2.
    (c) impossível se k=12.

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