Mostre que
se
for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular
se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada n-ésima da transformada de Laplace de f, ou seja, (𝓛f)^(n)(s), coincide com a transformada de (-t)^n f(t), e depois usar isso para calcular 𝓛{t cosh t}(s). Vamos usar teoria de derivação sob o sinal de integral e propriedades básicas de 𝓛.
Passo 2
Começamos da definição
Como f tem crescimento exponencial, podemos trocar derivada e integral. Assim,
Repetindo esse argumento n vezes por indução, obtemos
Passo 3
Agora aplicamos a f(t)=cosh t para depois usar n=1. Primeiro,
portanto
Para s>1 cada integral vale 1/(s±1), logo
Passo 4
Finalmente, como f(t)=t cosh t é t vezes cosh t, usamos n=1 na propriedade:
Calculando a derivada:
Portanto,