Mostre que f:(0, infty) R se mathscrL f(s) for de crescimento exponencial. Use este fato para calcular f(t)=t cosh t se:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada n-ésima da transformada de Laplace de f, ou seja, (𝓛f)^(n)(s), coincide com a transformada de (-t)^n f(t), e depois usar isso para calcular 𝓛{t cosh t}(s). Vamos usar teoria de derivação sob o sinal de integral e propriedades básicas de 𝓛.

Passo 2

Começamos da definição
mathscrLf(s)=integral0^infty e^-stf(t),dt
Como f tem crescimento exponencial, podemos trocar derivada e integral. Assim,
ddsmathscrLf(s)=integral0^inftypartialpartial s(e^-stf(t)),dt=integral0^infty(-t)e^-stf(t),dt=mathscrL((-t)f(t))(s)
Repetindo esse argumento n vezes por indução, obtemos
(mathscrLf)^(n)(s)=mathscrL((-t)^n f(t))(s)

Passo 3

Agora aplicamos a f(t)=cosh t para depois usar n=1. Primeiro,
cosh t=e^t+e^-t2
portanto
mathscrL(cosh t)(s)=integral0^infty e^-stcosh t,dt =12integral0^infty e^-st(e^t+e^-t),dt =12l(integral0^infty e^-(s-1)tdt+integral0^infty e^-(s+1)tdtr)
Para s>1 cada integral vale 1/(s±1), logo
mathscrL(cosh t)(s)=12l(1s-1+1s+1r)=ss^2-1

Passo 4

Finalmente, como f(t)=t cosh t é t vezes cosh t, usamos n=1 na propriedade:
mathscrL(tcosh t)(s)=-ddsmathscrL(cosh t)(s) =-ddsl(ss^2-1r)
Calculando a derivada:
ddsl(ss^2-1r)=(s^2-1)-2s^2(s^2-1)^2=-s^2-1(s^2-1)^2
Portanto,
mathscrL(tcosh t)(s)=-l(-s^2-1(s^2-1)^2r)=s^2+1(s^2-1)^2

Resposta

mathscrLtcosh t(s)=s^2+1(s^2-1)^2

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