Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n 2^-n^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty n,2^-n^2 usando o teste da integral. O conteúdo é séries numéricas e o teste da integral, que exige uma função contínua, positiva e decrescente em [1,infty) associada aos termos gerais da série.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x,2^-x^2. Para aplicar o teste da integral, precisamos que f(x)>0 e decrescente para x>=1. De fato, f(x)>0 e seu derivado é
f'(x)=e^-x^2ln2l(1-2x^2ln2r),
que é negativo para x>=1 (pois 2ln2approx1,386>1), logo f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Vamos calcular a integral imprópria
integral1^infty x,2^-x^2,dx
Fazendo a substituição u=x^2, temos du=2x,dx ou x,dx=du/2. Assim,
integral1^infty x,2^-x^2,dx =12integralu=1^u=infty2^-u,du =12integral1^inftye^-uln2,du =12l[e^-uln2-ln2r]1^infty =2^-12ln2 =14ln2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral converge e f(x) satisfaz as hipóteses do teste da integral, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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