Use o teste da integral para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo é séries numéricas e o teste da integral, que exige uma função contínua, positiva e decrescente em
associada aos termos gerais da série.
Passo 2
Definimos a função
. Para aplicar o teste da integral, precisamos que
e decrescente para
. De fato,
e seu derivado é
que é negativo para
(pois
), logo
é decrescente em
.
Passo 3
Vamos calcular a integral imprópria
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Assim,
que é finito.
Passo 4
Como a integral converge e
satisfaz as hipóteses do teste da integral, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.