Mostre que F_{2} não é conservativo e calcule o trabalho realizado por F_{2} sobre uma partícula que se movimenta ao longo de C_{1} \cup C_{2} (no sentido anti-horário, partindo do ponto ( 2,0 ) e retornando a este ponto).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que F_{2} não é conservativo.
  • Calcular o trabalho realizado por F_{2} quando uma partícula percorre C_{1}\cup C_{2} no sentido anti-horário, partindo e retornando ao ponto (2,0).
As informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui são apenas essas frases. Faltam informações essenciais para resolver concretamente o problema:
  • A expressão explícita do campo vetorial \mathbf F_{2} (ou seja, as componentes P(x,y) e Q(x,y)).
  • As parametrizações ou a descrição geométrica precisas das curvas C_{1} e C_{2} (por exemplo, se são arcos de círculo, retas, etc.), ou ao menos a região que C_{1}\cup C_{2} fecha.
Sem a expressão de \mathbf F_{2} e sem a descrição de C_{1} e C_{2} não há como calcular numericamente o trabalho nem provar de forma rigorosa que o campo é (ou não é) conservativo. Vou então:
  • Explicar passo a passo, de modo didático, como provar que um campo é (não) conservativo.
  • Mostrar como calcular o trabalho em um trajeto fechado (C_{1}\cup C_{2}) quando tiver as parametrizações.
  • Dar um exemplo completo e comentado com um campo clássico não conservativo para ilustrar tudo na prática (assim fica claro o procedimento que deves aplicar ao teu F_{2} e às tuas curvas).

Passo 2

Como testar se um campo bidimensional é conservativo — ideias e fórmulas (aula mastigada).
  • Seja \mathbf F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr). O trabalho ao longo de uma curva C é dado por
\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_C P\,dx+Q\,dy.
  • Uma função escalar f(x,y) é potencial de \mathbf F se \nabla f=\mathbf F, isto é,
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q.
Se existir tal f em uma região D, dizemos que \mathbf F é conservativo em D. Consequência importante: o trabalho entre dois pontos independe do caminho, e o trabalho em curva fechada é zero.
Teste prático (fórmula usada na prova):
  • Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
  • Se a região onde o campo está definido for um conjunto aberto simplesmente conectado e as derivadas parciais forem contínuas, então
\text{se } \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\text{ em }D,\quad\text{então }\mathbf F\text{ é conservativo em }D.ãé
  • Recíproco: se as derivadas não forem iguais em algum ponto da região, o campo não é conservativo (teste simples).
Atenção com a palavra “simply connected” (simply connected = sem buracos): mesmo se \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em toda a região onde o campo está definido, pode ainda ocorrer que o campo não seja conservativo se a região tiver um “buraco” (por exemplo, quando o campo tem singularidade no interior da região). Nesse caso, a igualdade das derivadas parciais não garante conservatividade global.

Passo 3

Como proceder para provar que \mathbf F_{2} não é conservativo (passos práticos que usas numa prova):
  1. Escreve \mathbf F_{2}=(P,Q).
  2. Calcula \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x} explicitamente.
  3. Se encontrares um ponto onde essas duas derivadas são diferentes, então \mathbf F_{2} não é conservativo (pronto).
  4. Se as derivadas forem iguais em toda a região onde \mathbf F_{2} está definido, verifica a topologia da região:
    • Se a região é simplesmente conectada e as derivadas são contínuas, então \mathbf F_{2} é conservativo.
    • Se a região não é simplesmente conectada (por exemplo, tem um ponto singular no interior), então a igualdade das derivadas não é suficiente: precisas checar se existe singularidade (pontos onde P e Q não são definidos) dentro da região cercada por C_{1}\cup C_{2}. Uma forma prática é calcular a circulação ao longo de uma curva fechada que rodeie a singularidade; se for não nula, o campo não é conservativo.

Passo 4

Como calcular o trabalho ao longo de C_{1}\cup C_{2} (método passo a passo que podes aplicar na prova).
  • A definição prática:
\int_{C_{1}\cup C_{2}}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{C_{1}}\mathbf F\cdot d\mathbf r+\int_{C_{2}}\mathbf F\cdot d\mathbf r.
  • Para cada curva C_i, escolhe uma parametrização \mathbf r_i(t)=(x_i(t),y_i(t)), t\in[a_i,b_i], obedecendo à orientação (no teu caso: sentido anti-horário).
  • Calcula dx_i/dt e dy_i/dt.
  • Substitui na integral:
\int_{C_i}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{a_i}^{b_i}\Bigl(P\bigl(x_i(t),y_i(t)\bigr)x_i'(t)+Q\bigl(x_i(t),y_i(t)\bigr)y_i'(t)\Bigr)\,dt.
  • Soma as duas integrais para obter o trabalho total.
  • Dica: se \mathbf F for conservativo (e o caminho for fechado), então o trabalho será 0. Se o campo não for conservativo, tens de efetuar as integrais ou usar outra ferramenta (ver passo seguinte).

Passo 5

Uso de Green (quando aplicável) — atalho poderoso na prova:
  • Se C=C_{1}\cup C_{2} é uma curva fechada simples, suave, positivamente orientada, e \mathbf F=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas em uma região que contém o interior de C, então vale o Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde R é a região interior a C.
  • Isso é útil porque, em vez de parametrizar C_{1} e C_{2}, calcula-se uma integral dupla sobre R. Se \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0 em R, então a circulação é zero. Mas cuidado: Green só vale se P e Q forem bem comportados (sem singularidades) em todo R. Se houver uma singularidade dentro de R, não podes aplicar Green diretamente.

Passo 6

Exemplo completo (ilustrativo) — um campo clássico não conservativo e a integral sobre a circunferência de raio 2.
  • Considere como exemplo
\mathbf F(x,y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\\ \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right),
definido para (x,y)\neq(0,0). Este é o campo que gera circulação constante ao redor da origem — frequentemente aparece em provas.
  • Teste das derivadas parciais: P(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.Calculando as derivadas: \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{- (x^{2}+y^{2}) +2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x^{2}+y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Logo \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todo ponto onde o campo está definido. Ainda assim, o campo NÃO é conservativo em uma região que contenha a origem porque o campo não está definido em (0,0) — a região tem um “buraco”.
  • Agora calculamos o trabalho ao longo da circunferência de raio 2 (sentido anti-horário, começando em (2,0)). Parametrização: x(t)=2\cos t,\qquad y(t)=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].Então dx=-2\sin t\,dt, dy=2\cos t\,dt. Substituindo na integral: \oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{y}{r^{2}}\,dx+\frac{x}{r^{2}}\,dy\right),onde aqui r^{2}=x^{2}+y^{2}=4. Substituindo x,y,dx,dy: -\frac{y}{4}\,dx+\frac{x}{4}\,dy =-\frac{2\sin t}{4}(-2\sin t\,dt)+\frac{2\cos t}{4}(2\cos t\,dt) =\sin^{2}t\,dt+\cos^{2}t\,dt=dt.Integrando de 0 a 2\pi: \oint_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi.Comentário interpretativo: embora \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x para (x,y)\neq(0,0), a singularidade na origem faz com que o campo não possua potencial global na região que contém a origem; a circulação em torno da origem é 2\pi, diferente de zero.
Este exemplo ilustra exatamente o procedimento que deves seguir: calcular derivadas parciais, analisar domínio (singularidades), e então ou aplicar Green (se possível) ou parametrizar e integrar.

Passo 7

Resumo prático — o que deves fazer com o teu problema concreto (passo a passo rápido para a prova):
  1. Escreve \mathbf F_{2}=(P,Q).
  2. Calcula \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
  3. Se \dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x} em algum ponto do interior da região bordada por C_{1}\cup C_{2}, pronto: \mathbf F_{2} não é conservativo.
  4. Se as derivadas forem iguais, verifica se o campo é definido (não tem singularidades) em todo o interior de C_{1}\cup C_{2}. Se houver singularidade no interior, o campo pode não ser conservativo — calcula a circulação usando uma pequena curva que rodeia a singularidade (ou calcula integral diretamente).
  5. Para o trabalho: ou
    • Usa Green se P,Q são contínuos e não há singularidade no interior, calculando \iint_{R}(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\,dA, ou
    • Parametriza C_{1} e C_{2}, calcula as integrais \int_{C_i}P\,dx+Q\,dy e soma.
  6. Confere a orientação: sentido anti-horário = orientação positiva para aplicar Green.

Passo 8

Motivação final e incentivo rápido: sei que estás com pouco tempo e que esses passos podem parecer muitos detalhes, mas é exatamente esse roteiro que te salva numa prova. Primeiro checas as derivadas parciais e o domínio; depois ou aplicas Green (quando possível) ou parametrizas e calculas. Se quiseres, manda a expressão do \mathbf F_{2} e a descrição de C_{1} e C_{2} e eu faço todas as contas passo a passo no teu caso concreto — prometo ser bem paciente e detalhista!

Resposta

Não é possível resolver: faltam a expressão de \mathbf F_{2} e as parametrizações ou a descrição geométrica das curvas C_{1} e C_{2}.

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