Mostre que
não é conservativo e calcule o trabalho realizado por
sobre uma partícula que se movimenta ao longo de
(no sentido anti-horário, partindo do ponto ( 2,0 ) e retornando a este ponto).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
não é conservativo. - Calcular o trabalho realizado por
quando uma partícula percorre no sentido anti-horário, partindo e retornando ao ponto .
As informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui são apenas essas frases. Faltam informações essenciais para resolver concretamente o problema:
- A expressão explícita do campo vetorial
(ou seja, as componentes e ). - As parametrizações ou a descrição geométrica precisas das curvas
e (por exemplo, se são arcos de círculo, retas, etc.), ou ao menos a região que fecha.
Sem a expressão de
e sem a descrição de
e
não há como calcular numericamente o trabalho nem provar de forma rigorosa que o campo é (ou não é) conservativo. Vou então:
- Explicar passo a passo, de modo didático, como provar que um campo é (não) conservativo.
- Mostrar como calcular o trabalho em um trajeto fechado
quando tiver as parametrizações. - Dar um exemplo completo e comentado com um campo clássico não conservativo para ilustrar tudo na prática (assim fica claro o procedimento que deves aplicar ao teu
e às tuas curvas).
Passo 2
Como testar se um campo bidimensional é conservativo — ideias e fórmulas (aula mastigada).
- Seja
. O trabalho ao longo de uma curva é dado por
- Uma função escalar
é potencial de se , isto é,
Se existir tal
em uma região
, dizemos que
é conservativo em
. Consequência importante: o trabalho entre dois pontos independe do caminho, e o trabalho em curva fechada é zero.
Teste prático (fórmula usada na prova):
- Calcule
e . - Se a região onde o campo está definido for um conjunto aberto simplesmente conectado e as derivadas parciais forem contínuas, então
- Recíproco: se as derivadas não forem iguais em algum ponto da região, o campo não é conservativo (teste simples).
Atenção com a palavra “simply connected” (simply connected = sem buracos): mesmo se
em toda a região onde o campo está definido, pode ainda ocorrer que o campo não seja conservativo se a região tiver um “buraco” (por exemplo, quando o campo tem singularidade no interior da região). Nesse caso, a igualdade das derivadas parciais não garante conservatividade global.
Passo 3
Como proceder para provar que
não é conservativo (passos práticos que usas numa prova):
- Escreve
. - Calcula
e explicitamente. - Se encontrares um ponto onde essas duas derivadas são diferentes, então
não é conservativo (pronto). - Se as derivadas forem iguais em toda a região onde
está definido, verifica a topologia da região: - Se a região é simplesmente conectada e as derivadas são contínuas, então
é conservativo. - Se a região não é simplesmente conectada (por exemplo, tem um ponto singular no interior), então a igualdade das derivadas não é suficiente: precisas checar se existe singularidade (pontos onde
e não são definidos) dentro da região cercada por . Uma forma prática é calcular a circulação ao longo de uma curva fechada que rodeie a singularidade; se for não nula, o campo não é conservativo.
- Se a região é simplesmente conectada e as derivadas são contínuas, então
Passo 4
Como calcular o trabalho ao longo de
(método passo a passo que podes aplicar na prova).
- A definição prática:
- Para cada curva
, escolhe uma parametrização , , obedecendo à orientação (no teu caso: sentido anti-horário). - Calcula
e . - Substitui na integral:
- Soma as duas integrais para obter o trabalho total.
- Dica: se
for conservativo (e o caminho for fechado), então o trabalho será . Se o campo não for conservativo, tens de efetuar as integrais ou usar outra ferramenta (ver passo seguinte).
Passo 5
Uso de Green (quando aplicável) — atalho poderoso na prova:
- Se
é uma curva fechada simples, suave, positivamente orientada, e tem derivadas parciais contínuas em uma região que contém o interior de , então vale o Teorema de Green:
onde
é a região interior a
.
- Isso é útil porque, em vez de parametrizar
e , calcula-se uma integral dupla sobre . Se em , então a circulação é zero. Mas cuidado: Green só vale se e forem bem comportados (sem singularidades) em todo . Se houver uma singularidade dentro de , não podes aplicar Green diretamente.
Passo 6
Exemplo completo (ilustrativo) — um campo clássico não conservativo e a integral sobre a circunferência de raio
.
- Considere como exemplo
definido para
. Este é o campo que gera circulação constante ao redor da origem — frequentemente aparece em provas.
- Teste das derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
Logo
em todo ponto onde o campo está definido. Ainda assim, o campo NÃO é conservativo em uma região que contenha a origem porque o campo não está definido em
— a região tem um “buraco”.
- Agora calculamos o trabalho ao longo da circunferência de raio
(sentido anti-horário, começando em ). Parametrização: Então , . Substituindo na integral: onde aqui . Substituindo : Integrando de a : Comentário interpretativo: embora para , a singularidade na origem faz com que o campo não possua potencial global na região que contém a origem; a circulação em torno da origem é , diferente de zero.
Este exemplo ilustra exatamente o procedimento que deves seguir: calcular derivadas parciais, analisar domínio (singularidades), e então ou aplicar Green (se possível) ou parametrizar e integrar.
Passo 7
Resumo prático — o que deves fazer com o teu problema concreto (passo a passo rápido para a prova):
- Escreve
. - Calcula
e . - Se
em algum ponto do interior da região bordada por , pronto: não é conservativo. - Se as derivadas forem iguais, verifica se o campo é definido (não tem singularidades) em todo o interior de
. Se houver singularidade no interior, o campo pode não ser conservativo — calcula a circulação usando uma pequena curva que rodeia a singularidade (ou calcula integral diretamente). - Para o trabalho: ou
- Usa Green se
são contínuos e não há singularidade no interior, calculando , ou - Parametriza
e , calcula as integrais e soma.
- Usa Green se
- Confere a orientação: sentido anti-horário = orientação positiva para aplicar Green.
Passo 8
Motivação final e incentivo rápido: sei que estás com pouco tempo e que esses passos podem parecer muitos detalhes, mas é exatamente esse roteiro que te salva numa prova. Primeiro checas as derivadas parciais e o domínio; depois ou aplicas Green (quando possível) ou parametrizas e calculas. Se quiseres, manda a expressão do
e a descrição de
e
e eu faço todas as contas passo a passo no teu caso concreto — prometo ser bem paciente e detalhista!
Resposta
Não é possível resolver: faltam a expressão de
e as parametrizações ou a descrição geométrica das curvas
e
.