Mostre que
é conservativo e calcule o trabalho realizado por
sobre uma partícula que se movimenta ao longo de
, com orientação do ponto (
) ao ponto ( 2,0 ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
é conservativo. - Calcular o trabalho realizado por
ao longo da curva orientada do ponto para o ponto .
Informações dadas no enunciado que eu tenho: apenas os nomes
e
e os pontos inicial
e final
.
Informações que estão faltando e que são necessárias para um cálculo numérico:
- A expressão explícita do campo vetorial
, por exemplo . - A descrição da curva
(se necessário), exceto que seu início é e seu fim é . Para campos conservativos geralmente o trabalho depende só desses pontos; contudo é preciso saber se o domínio do campo que contém é simplesmente conexo e se está bem definida ao longo de .
Como falta a expressão de
e a descrição precisa do domínio onde ele está definido, não é possível calcular numericamente o trabalho. A partir do passo 2 em diante vou explicar passo a passo como provar que um campo em duas dimensões é conservativo, como encontrar a potencial e como calcular o trabalho na prova — assim você já faz isso rápido se receber a expressão de
.
Passo 2
O que significa “campo conservativo” (a ideia e a condicional prática):
- Um campo vetorial
é dito conservativo se existe uma função escalar tal que
A função
chama-se potencial do campo.
- Em
, uma condição prática (muito usada em provas) é: se e têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo e se
então existe
tal que
, ou seja,
é conservativo em
.
- Observação importante: a condição de igualdade das derivadas parciais não é suficiente sozinha em domínios que não são simplesmente conexos (por exemplo,
menos a origem). Na prova da faculdade, sempre cheque domínio e continuidade das parciais.
Explicação intuitiva curta (pra lembrar na prova): o “rotor” em 2D é
. Se o rotor é zero no domínio apropriado, o campo é gradiente de alguma função.
Passo 3
Como testar passo a passo (recebendo
explícito):
- Escreve
. - Calcule
e . - Verifique se são iguais em um domínio
onde e têm derivadas parciais contínuas. - Verifique se o domínio
que contém o segmento/curva é simplesmente conexo (sem buracos). Se os itens 2–4 forem verdadeiros, conclui-se que é conservativo em .
Exemplo rápido para fixar (modelo de como fazer na prova):
- Suponha
. -
e . -
. -
. - Como as parciais são contínuas em todo
e a igualdade vale, o campo é conservativo em .
-
Passo 4
Como encontrar explicitamente a potencial
(procedimento que deve escrever na prova):
- Partindo de
, integre em relação a :
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
2. Diferencie obtida em relação a
e iguale ao componente
:
2. Diferencie
- Resolva para
, integre para achar (até uma constante aditiva). - O resultado é
até uma constante. Verifique se e .
Continuando o exemplo do passo anterior:
-
. Integro em :
- Diferencio em
:
- Igualando a
dá . Logo .
Passo 5
Como calcular o trabalho uma vez que o campo é conservativo:
- Se
é um campo conservativo e é qualquer curva suave que vai de a , então o trabalho linha é dado pelo Teorema Fundamental para Gradientes:
- Ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos finais e não do caminho, desde que o caminho esteja contido no domínio onde
está definida. - Na prática na prova: encontre
, calcule .
Passo 6
Aplicando ao enunciado (o que posso concluir sem a expressão de
):
- Para “mostrar que
é conservativo” é preciso aplicar o procedimento do Passo 3 ao fornecido. Como a expressão de não foi dada, não posso efetuar a verificação concreta aqui. Se o enunciado te der , então você deve calcular e e verificar a igualdade num domínio adequado. - Para calcular o trabalho ao longo de
orientada de para : se for conservativo com potencial definido no domínio que contém , então
Portanto o cálculo numérico reduz-se a avaliar a potencial nos dois pontos. Sem a fórmula de
(ou sem
) não dá para fornecer um valor numérico específico.
Passo 7
Resumo prático (o que fazer quando receber a expressão de
na prova — checklist rápido):
- Escreva
. - Calcule
e . - Verifique se são iguais e se o domínio onde o campo é definido e onde a curva está é simplesmente conexo.
- Se sim, ache
pelo método de integrar em (Passo 4). - Calcule
. - Se em algum ponto o domínio tiver buraco (por exemplo singularidade no caminho), não use esse método — aí precisa calcular a integral de linha diretamente (parametrizar
e integrar), e eu te mostro como fazer se isso ocorrer.
Resposta
Não é possível calcular numericamente sem a expressão de
e a descrição do domínio; entretanto, se
então o trabalho vale
.