Mostre que F_{1} é conservativo e calcule o trabalho realizado por F_{1} sobre uma partícula que se movimenta ao longo de C_{2}, com orientação do ponto ( -2,0 ) ao ponto ( 2,0 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que F_{1} é conservativo.
  • Calcular o trabalho realizado por F_{1} ao longo da curva C_{2} orientada do ponto (-2,0) para o ponto (2,0).
Informações dadas no enunciado que eu tenho: apenas os nomes F_{1} e C_{2} e os pontos inicial (-2,0) e final (2,0).
Informações que estão faltando e que são necessárias para um cálculo numérico:
  • A expressão explícita do campo vetorial F_{1}, por exemplo F_{1}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle.
  • A descrição da curva C_{2} (se necessário), exceto que seu início é (-2,0) e seu fim é (2,0). Para campos conservativos geralmente o trabalho depende só desses pontos; contudo é preciso saber se o domínio do campo que contém C_{2} é simplesmente conexo e se F_{1} está bem definida ao longo de C_{2}.
Como falta a expressão de F_{1} e a descrição precisa do domínio onde ele está definido, não é possível calcular numericamente o trabalho. A partir do passo 2 em diante vou explicar passo a passo como provar que um campo em duas dimensões é conservativo, como encontrar a potencial e como calcular o trabalho na prova — assim você já faz isso rápido se receber a expressão de F_{1}.

Passo 2

O que significa “campo conservativo” (a ideia e a condicional prática):
  • Um campo vetorial F(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle é dito conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que
F=\nabla\varphi=\left\langle \frac{\partial\varphi}{\partial x},\,\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right\rangle.
A função \varphi chama-se potencial do campo.
  • Em \mathbb{R}^2, uma condição prática (muito usada em provas) é: se P e Q têm derivadas parciais contínuas num domínio D simplesmente conexo e se
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)\quad\text{para todo }(x,y)\in D,
então existe \varphi tal que F=\nabla\varphi, ou seja, F é conservativo em D.
  • Observação importante: a condição de igualdade das derivadas parciais não é suficiente sozinha em domínios que não são simplesmente conexos (por exemplo, \mathbb{R}^2 menos a origem). Na prova da faculdade, sempre cheque domínio e continuidade das parciais.
Explicação intuitiva curta (pra lembrar na prova): o “rotor” em 2D é \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}. Se o rotor é zero no domínio apropriado, o campo é gradiente de alguma função.

Passo 3

Como testar passo a passo (recebendo F_{1} explícito):
  1. Escreve F_{1}(x,y)=\langle P(x,y),\,Q(x,y)\rangle.
  2. Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
  3. Verifique se são iguais em um domínio D onde P e Q têm derivadas parciais contínuas.
  4. Verifique se o domínio D que contém o segmento/curva C_{2} é simplesmente conexo (sem buracos). Se os itens 2–4 forem verdadeiros, conclui-se que F_{1} é conservativo em D.
Exemplo rápido para fixar (modelo de como fazer na prova):
  • Suponha F(x,y)=\langle 2xy,\;x^2\rangle.
    • P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^2.
    • \dfrac{\partial P}{\partial y}=2x.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=2x.
    • Como as parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2 e a igualdade vale, o campo é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 4

Como encontrar explicitamente a potencial \varphi (procedimento que deve escrever na prova):
  1. Partindo de F=\langle P, Q\rangle, integre P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
2. Diferencie \varphi obtida em relação a y e iguale ao componente Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int P(x,y)\,dx\right)+g'(y)=Q(x,y).
  1. Resolva para g'(y), integre para achar g(y) (até uma constante aditiva).
  2. O resultado é \varphi(x,y) até uma constante. Verifique se \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P e \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q.
Continuando o exemplo do passo anterior:
  • P(x,y)=2xy. Integro em x:
\varphi(x,y)=\int 2xy\,dx = x^2 y + g(y).
  • Diferencio em y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^2 + g'(y).
  • Igualando a Q(x,y)=x^2 g'(y)=0\Rightarrow g(y)=C. Logo \varphi(x,y)=x^2 y + C.

Passo 5

Como calcular o trabalho uma vez que o campo é conservativo:
  • Se F=\nabla\varphi é um campo conservativo e \gamma é qualquer curva suave que vai de A a B, então o trabalho linha é dado pelo Teorema Fundamental para Gradientes:
W=\int_{\gamma} F\cdot d\mathbf{r} = \varphi(B)-\varphi(A).
  • Ou seja, o trabalho depende apenas dos pontos finais e não do caminho, desde que o caminho esteja contido no domínio onde \varphi está definida.
  • Na prática na prova: encontre \varphi, calcule \varphi(x_{f},y_{f})-\varphi(x_{i},y_{i}).

Passo 6

Aplicando ao enunciado (o que posso concluir sem a expressão de F_{1}):
  • Para “mostrar que F_{1} é conservativo” é preciso aplicar o procedimento do Passo 3 ao F_{1} fornecido. Como a expressão de F_{1} não foi dada, não posso efetuar a verificação concreta aqui. Se o enunciado te der F_{1}(x,y)=\langle P,Q\rangle, então você deve calcular \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x} e verificar a igualdade num domínio adequado.
  • Para calcular o trabalho ao longo de C_{2} orientada de (-2,0) para (2,0): se F_{1} for conservativo com potencial \varphi definido no domínio que contém C_{2}, então
W=\varphi(2,0)-\varphi(-2,0).
Portanto o cálculo numérico reduz-se a avaliar a potencial nos dois pontos. Sem a fórmula de \varphi (ou sem F_{1}) não dá para fornecer um valor numérico específico.

Passo 7

Resumo prático (o que fazer quando receber a expressão de F_{1} na prova — checklist rápido):
  1. Escreva F_{1}(x,y)=\langle P,Q\rangle.
  2. Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y} e \dfrac{\partial Q}{\partial x}.
  3. Verifique se são iguais e se o domínio onde o campo é definido e onde a curva está é simplesmente conexo.
  4. Se sim, ache \varphi pelo método de integrar P em x (Passo 4).
  5. Calcule W=\varphi(2,0)-\varphi(-2,0).
  6. Se em algum ponto o domínio tiver buraco (por exemplo singularidade no caminho), não use esse método — aí precisa calcular a integral de linha diretamente (parametrizar C_{2} e integrar), e eu te mostro como fazer se isso ocorrer.

Resposta

Não é possível calcular numericamente sem a expressão de F_{1} e a descrição do domínio; entretanto, se F_{1}=\nabla\varphi então o trabalho vale \varphi(2,0)-\varphi(-2,0).

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