Mostre que se f: R -> R é contínua e f(x) = 0 para todo ponto x in Q, então f(x) = 0 para todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se uma função é contínua e vale zero em todos os números racionais ( ), então ela também vale zero em todos os números reais ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e a propriedade de que os racionais são densos nos reais.

Passo 2

Primeiro, lembre que os números racionais ( ) são densos nos reais ( ). Isso significa que, para qualquer número real , podemos encontrar uma sequência de números racionais que se aproxima de . Ou seja, .

Passo 3

Agora, como a função é contínua, sabemos que o limite da função em é igual à função em . Matematicamente, isso é escrito como:
Mas, pela condição do exercício, para todo racional.

Passo 4

Substituindo na expressão do limite, temos:
Portanto, para todo .

Resposta

Para todo , .

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