Mostre que se
é contínua e
para todo ponto
, então
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que se uma função
é contínua e vale zero em todos os números racionais (
), então ela também vale zero em todos os números reais (
). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e a propriedade de que os racionais são densos nos reais.
Passo 2
Primeiro, lembre que os números racionais (
) são densos nos reais (
). Isso significa que, para qualquer número real
, podemos encontrar uma sequência de números racionais
que se aproxima de
. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, como a função
é contínua, sabemos que o limite da função em
é igual à função em
. Matematicamente, isso é escrito como:
Mas, pela condição do exercício,
para todo
racional.
Passo 4
Substituindo na expressão do limite, temos:
Portanto,
para todo
.
Resposta
Para todo
,
.