Enuncie uma questão que você julga interessante e onde você pode apresentar seus conhecimentos de Cálculo e apresente a solução, justificando a importância dada a questão.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de otimização em Cálculo. O problema é encontrar as dimensões de um retângulo de área máxima que pode ser inscrito sob a curva e acima do eixo . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas para identificar pontos de máximo na função que representa a área do retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o problema. Temos a curva , que é uma parábola voltada para baixo. Queremos inscrever um retângulo nessa área, de modo que a base do retângulo esteja no eixo e os lados toquem a curva da parábola. Vamos assumir que o retângulo é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Vamos definir as dimensões do retângulo. Se considerarmos que um dos vértices do retângulo no primeiro quadrante tem coordenadas , então o vértice correspondente no segundo quadrante será . Assim, a largura do retângulo será e a altura será .

Passo 4

A área do retângulo pode ser expressa como:
Como o ponto está na curva , podemos substituir na equação da área:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, precisamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero, pois os pontos críticos podem indicar máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Passo 7

Agora, encontramos substituindo na equação da parábola:

Passo 8

Finalmente, as dimensões do retângulo são:
  • Largura:
  • Altura:

Resposta

As dimensões do retângulo com área máxima são largura unidades e altura unidades, resultando em uma área máxima de:

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