Enuncie uma questão que você julga interessante e onde você pode apresentar seus conhecimentos de Cálculo e apresente a solução, justificando a importância dada a questão.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de otimização em Cálculo. O problema é encontrar as dimensões de um retângulo de área máxima que pode ser inscrito sob a curva
e acima do eixo
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas para identificar pontos de máximo na função que representa a área do retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o problema. Temos a curva
, que é uma parábola voltada para baixo. Queremos inscrever um retângulo nessa área, de modo que a base do retângulo esteja no eixo
e os lados toquem a curva da parábola. Vamos assumir que o retângulo é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Vamos definir as dimensões do retângulo. Se considerarmos que um dos vértices do retângulo no primeiro quadrante tem coordenadas
, então o vértice correspondente no segundo quadrante será
. Assim, a largura do retângulo será
e a altura será
.
Passo 4
A área
do retângulo pode ser expressa como:
Como o ponto
está na curva
, podemos substituir
na equação da área:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, precisamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero, pois os pontos críticos podem indicar máximos ou mínimos.
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo 7
Agora, encontramos
substituindo
na equação da parábola:
Passo 8
Finalmente, as dimensões do retângulo são:
- Largura:
- Altura:
Resposta
As dimensões do retângulo com área máxima são largura
unidades e altura
unidades, resultando em uma área máxima de: