Seja f(x) = { x^2 se x pertence a Q; -x^2 se x não pertence a Q }. Mostre que função f é contínua em x = 0 e não é contínua em x = 1. Além disso, mostre que |f(x)| é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a continuidade da função definida por:
Precisamos mostrar que é contínua em , não é contínua em e que é contínua em todo o domínio. Para isso, vamos usar conceitos de limites e definição de continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos começar mostrando que é contínua em . Primeiro, calculamos :
Como 0 é um número racional, usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Vamos considerar duas situações: quando é racional e quando é irracional.
Se é racional:
Se é irracional:

Passo 5

Como tanto para racionais quanto para irracionais o limite é 0, concluímos que:
Portanto, é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em . Primeiro, calculamos :
Como 1 é um número racional, usamos a primeira parte da função:

Passo 7

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Novamente, consideramos racional e irracional.
Se é racional:
Se é irracional:

Passo 8

Percebemos que os limites laterais são diferentes:
Como os limites não são iguais, o limite geral de quando se aproxima de 1 não existe ou é diferente de . Portanto, não é contínua em .

Passo 9

Por último, vamos analisar . Aplicando o valor absoluto à função original:
Então, para todo , independente se é racional ou não.

Passo 10

Sabemos que é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio. Portanto, é contínua para todo .

Resposta

A função é contínua em , não é contínua em e é contínua em todo o domínio.

Exercícios relacionados