Seja
. Mostre que função
é contínua em
e não é contínua em
. Além disso, mostre que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos a continuidade da função
definida por:
Precisamos mostrar que
é contínua em
, não é contínua em
e que
é contínua em todo o domínio. Para isso, vamos usar conceitos de limites e definição de continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos começar mostrando que
é contínua em
. Primeiro, calculamos
:
Como 0 é um número racional, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Vamos considerar duas situações: quando
é racional e quando
é irracional.
Se
é racional:
Se
é irracional:
Passo 5
Como tanto para
racionais quanto para irracionais o limite é 0, concluímos que:
Portanto,
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade em
. Primeiro, calculamos
:
Como 1 é um número racional, usamos a primeira parte da função:
Passo 7
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1. Novamente, consideramos
racional e irracional.
Se
é racional:
Se
é irracional:
Passo 8
Percebemos que os limites laterais são diferentes:
Como os limites não são iguais, o limite geral de
quando
se aproxima de 1 não existe ou é diferente de
. Portanto,
não é contínua em
.
Passo 9
Por último, vamos analisar
. Aplicando o valor absoluto à função original:
Então,
para todo
, independente se é racional ou não.
Passo 10
Sabemos que
é uma função polinomial, que é contínua em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua para todo
.
Resposta
A função
é contínua em
, não é contínua em
e
é contínua em todo o domínio.