Mostre que se é contínua, e é uma sequencia convergente em , então é uma sequencia convergente em .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função contínua
e uma sequência que converge para um ponto . Queremos mostrar que a sequência real converge para . Para isso, vamos usar as definições de convergência de sequências e de continuidade em termos de –.
Passo 2
Definição de convergência em :
onde usualmente .
Isto significa que, dado qualquer , existe tal que, para todo ,
Passo 3
Definição de continuidade de em :
Passo 4
Prova da convergência de f(xj,yj):
Seja varepsilon>0. Pela continuidade de f em (x,y), existe de<a>0 tal que