Mostre que se f: R^2 R é contínua, e (xj, yj)j é uma sequencia convergente em R^2, então f(xj, yj) é uma sequencia convergente em R.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua
fcolon R^2 to R
e uma sequência (xj,yj)j=1^inftysubsetR^2 que converge para um ponto (x,y)inR^2. Queremos mostrar que a sequência real f(xj,yj)j=1^infty converge para f(x,y). Para isso, vamos usar as definições de convergência de sequências e de continuidade em termos de varepsilon de<a.

Passo 2

Definição de convergência em R^2:
(xj,yj)to(x,y) Long<=ftrightarrow limjtoinfty|(xj,yj)-(x,y)|=0,
onde usualmente |(u,v)-(x,y)|=raiz(u-x)^2+(v-y)^2.
Isto significa que, dado qualquer de<a>0, existe NinN tal que, para todo j>N,
|(xj,yj)-(x,y)|<de<a

Passo 3

Definição de continuidade de f em (x,y):
forall varepsilon>0;exists de<a>0;tal que, se |(u,v)-(x,y)|<de<a, ; então l|f(u,v)-f(x,y)r|<varepsilon ã

Passo 4

Prova da convergência de f(xj,yj):
Seja varepsilon>0. Pela continuidade de f em (x,y), existe de<a>0 tal que
|(u,v)-(x,y)|<de<a Longrightarrow l|f(u,v)-f(x,y)r|<varepsilon
Como (xj,yj)to(x,y), existe N tal que, para todo j>N,
|(xj,yj)-(x,y)|<de<a
Logo, para j>N vale
l|f(xj,yj)-f(x,y)r|<varepsilon,
o que é exatamente a definição de limjtoinftyf(xj,yj)=f(x,y). Assim, f(xj,yj) é convergente em R.

Resposta

limjtoinftyf(xj,yj)=fl(limjtoinfty(xj,yj)r), portanto f(xj,yj) converge em R.

Exercícios relacionados