Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
Discuta a continuidade da função f dada por
f(x, y)=rll raiz[2024]x^3 y^3x^12+y^4, & se & (x, y) neq(0,0) 12, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= raiz[2024]dfracx^3y^3x^12+y^4,&(x,y)neq(0,0), 12,&(x,y)=(0,0),
e pede para discutir a continuidade em (0,0). O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis e vamos usar limites por diferentes trajetórias.

Passo 2

Para f ser contínua em (0,0) precisamos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) ;=; f(0,0) ;=;12
Se encontrarmos dois caminhos para (0,0) que levem a limites diferentes, concluímos que o limite não existe e, portanto, f não é contínua.

Passo 3

Tomemos a trajetória . Para ,
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Passo 4

Agora tomemos a trajetória y=x^3. Para xneq0,
o numerador é
x^3,(x^3)^3 = x^3cdot x^9 = x^12,
e o denominador é
x^12+(x^3)^4 = x^12+x^12 = 2x^12
Assim
f(x,x^3) = raiz[2024]x^122x^12 = raiz[2024]tfrac12 = l(tfrac12r)^1/2024,
que é um número constante diferente de 0.

Passo 5

Como ao longo de y=0 o limite vale 0 e ao longo de y=x^3 vale l(tfrac12r)^1/2024neq0, o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe. Em particular não pode ser igual a 12.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

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