Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
Discuta a continuidade da função
dada por
Discuta a continuidade da função
Passo 1
O enunciado define
e pede para discutir a continuidade em
(0,0) . O conteúdo é continuidade de função de duas variáveis e vamos usar limites por diferentes trajetórias.
Passo 2
Para
f ser contínua em
(0,0) precisamos que
Se encontrarmos dois caminhos para
(0,0) que levem a limites diferentes, concluímos que o limite não existe e, portanto,
f não é contínua.
Passo 3
Tomemos a trajetória
. Para
,
Logo
Passo 4
Agora tomemos a trajetória
y=x^3 . Para
xneq0 ,
o numerador é
o numerador é
e o denominador é
Assim
que é um número constante diferente de
0 .
Passo 5
Como ao longo de
y=0 o limite vale
0 e ao longo de
y=x^3 vale
l(tfrac12r)^1/2024neq0 , o limite de
f(x,y) quando
(x,y)to(0,0) não existe. Em particular não pode ser igual a
12 .
Resposta
A função
f não é contínua em
(0,0) .