Calcule o divergente do campo vetorial F(r, theta, phi)=r^2 cos phi r+r^3 sin theta theta+3 sin phi sin theta phi, em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo em coordenadas esféricas
F(r,theta,phi)=r^2cosphi,hat r + r^3sintheta,hattheta + 3sinphisintheta,hatphi.
O conteúdo é a aplicação da fórmula do operador divergente em coordenadas esféricas.

Passo 2

A fórmula do divergente em coordenadas esféricas é
nablacdotvec F = 1r^2partialpartial rl(r^2Frr) + 1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Fthetar) + 1rsinthetapartial Fphipartialphi

Passo 3

Calculando o termo radial:
Fr=r^2cosphi Longrightarrow r^2Fr=r^4cosphi Longrightarrow 1r^2partialpartial r(r^4cosphi) = 1r^2l(4r^3cosphir) =4rcosphi

Passo 4

Calculando o termo polar:
Ftheta=r^3sintheta Longrightarrow sintheta,Ftheta=r^3sin^2theta
1rsinthetapartialpartialtheta(r^3sin^2theta) = 1rsinthetal(2r^3sinthetacosthetar) =2r^2costheta

Passo 5

Calculando o termo azimutal:
Fphi=3sinphisintheta Longrightarrow 1rsinthetapartialpartialphi(3sinphisintheta) = 1rsinthetal(3cosphisinthetar) =3cosphir

Passo 6

Somando os três termos:
nablacdotvec F =4rcosphi + 2r^2costheta + 3cosphir

Resposta

nablacdotvec F =4rcosphi + 2r^2costheta + 3cosphir

Exercícios relacionados