(20 pontos) Encontre a solução do PVI abaixo:
y^prime prime-43 y^prime+49 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y'' - 43y' + 49y = 0, y(0)=2, y'(0)=-1
O conteúdo envolvido é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica e, por ser raiz dupla, incluir um fator x na segunda solução.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 - 43r + 49 = 0
O discriminante é
De<a = l(-tfrac43r)^2 - 4cdot1cdottfrac49 = 169 - 169 = 0,
logo há raiz dupla
r = tfrac432 = 23

Passo 3

Para raiz dupla r=tfrac23, a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^23x

Passo 4

Calculamos y'(x) para aplicar as condições iniciais. Usando produto e cadeia,
y'(x) = l(C2r)e^23x + l(C1 + C2 xr),23e^23x = e^23xl(C2 + tfrac23(C1 + C2 x)r)

Passo 5

Impondo y(0)=2 e y'(0)=-1:
  • Em x=0: y(0)=C1=2.
  • Em x=0: y'(0)=C2 + tfrac23C1 = -1, ou seja
C2 + 23cdot 2 = -1 Longrightarrow C2 = -1 - 43 = -73

Passo 6

Substituindo C1=2 e C2=-tfrac73 na solução geral, obtemos a solução do PVI:
y(x) = l(2 - tfrac73,xr),e^23x

Resposta

y(x) = l(2 - tfrac73,xr),e^23x

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